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Mathos AI | Calculatrice de Série Géométrique

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Le concept de base du calcul de la somme d'une série géométrique

Qu'est-ce que le calcul de la somme d'une série géométrique ?

Le calcul de la 'somme d'une série géométrique' est un concept fondamental en mathématiques qui nous permet de déterminer efficacement la valeur totale d'une série géométrique. Une série géométrique est la somme des termes d'une suite géométrique, où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une raison constante.

Suite : Une liste ordonnée de nombres.
Suite géométrique : Une suite où chaque terme est trouvé en multipliant le terme précédent par une valeur constante appelée la raison (r). Par exemple, 2, 4, 8, 16, 32... est une suite géométrique avec une raison de 2. Chaque terme est le double du terme précédent.
Série géométrique : La somme des termes dans une suite géométrique. Donc, pour la suite ci-dessus, la série géométrique serait 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

Calculer manuellement la somme d'une série géométrique, surtout lorsqu'elle comporte de nombreux termes, peut être fastidieux et prendre du temps. La formule de la somme offre un moyen direct et efficace de déterminer la valeur totale, quel que soit le nombre de termes.

Comprendre la formule

Il existe deux formules principales, une pour les séries géométriques finies et une pour les séries géométriques infinies (sous certaines conditions).

a) Série géométrique finie

Une série géométrique finie a un nombre spécifique de termes. La formule pour sa somme (notée (S_n)) est :

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

Où :

(S_n) est la somme des n premiers termes de la série.
(a) est le premier terme de la série.
(r) est la raison.
(n) est le nombre de termes dans la série.

Exemple :

Disons que nous voulons trouver la somme des 4 premiers termes de la série : 3 + 6 + 12 + 24.

a = 3
r = 2
n = 4

S_4 = \frac{3(1 - 2^4)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 16)}{-1} = \frac{3(-15)}{-1} = 45

Par conséquent, 3 + 6 + 12 + 24 = 45.

b) Série géométrique infinie

Une série géométrique infinie continue indéfiniment. Cependant, sa somme peut converger vers une valeur finie seulement si la valeur absolue de la raison est inférieure à 1 ((|r| < 1)). Dans ce cas, la formule pour la somme (notée (S_\infty)) est :

S_\infty = \frac{a}{1 - r}

Où :

(S_\infty) est la somme de la série géométrique infinie.
(a) est le premier terme de la série.
(r) est la raison (et |r| < 1).

Exemple :

Trouvons la somme de la série géométrique infinie : 4 + 2 + 1 + 1/2 + ...

a = 4
r = 1/2

S_\infty = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8

Par conséquent, 4 + 2 + 1 + 1/2 + ... = 8

Comment effectuer le calcul de la somme d'une série géométrique

Guide étape par étape

Voici un guide étape par étape pour calculer la somme d'une série géométrique :

1. Identifier la série comme géométrique :

Vérifiez s'il existe une raison constante entre les termes consécutifs. Divisez n'importe quel terme par son terme précédent. Si le résultat est le même pour toutes les paires de termes consécutifs, il s'agit d'une série géométrique.

2. Déterminer 'a', 'r' et 'n' (ou évaluer pour l'infini) :

'a' (Premier terme) : Identifiez le premier terme de la série.
'r' (Raison) : Calculez la raison en divisant n'importe quel terme par son terme précédent.
'n' (Nombre de termes) : S'il s'agit d'une série finie, déterminez le nombre de termes que vous souhaitez additionner.
Infini : Si la série est infinie, vérifiez si (|r| < 1). Si ce n'est pas le cas, la série diverge et n'a pas de somme finie.

3. Choisir la bonne formule :

Série finie : Utilisez la formule (S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r})
Série infinie (si (|r| < 1)) : Utilisez la formule (S_\infty = \frac{a}{1 - r})

4. Substituer les valeurs dans la formule :

Substituez soigneusement les valeurs de 'a', 'r' et 'n' dans la formule choisie.

5. Calculer la somme :

Effectuez les calculs pour trouver la somme de la série géométrique.

Exemple (Série finie) :

Trouvez la somme des 5 premiers termes de la série : 1 + 3 + 9 + 27 + 81

Géométrique ? Oui (3/1 = 9/3 = 27/9 = 3)
Identifier : a = 1, r = 3, n = 5
Formule : (S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r})
Substituer : (S_5 = \frac{1(1 - 3^5)}{1 - 3})
Calculer :

S_5 = \frac{1(1 - 243)}{-2} = \frac{-242}{-2} = 121

Exemple (Série infinie) :

Trouvez la somme de la série infinie : 9 + 3 + 1 + 1/3 + ...

Géométrique ? Oui (3/9 = 1/3 = (1/3)/1 = 1/3)
Identifier : a = 9, r = 1/3
Vérifier (|r| < 1) : (|1/3| < 1) (Vrai)
Formule : (S_\infty = \frac{a}{1 - r})
Substituer : (S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}})
Calculer :

S_\infty = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{1} * \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5

Erreurs courantes à éviter

Identifier incorrectement 'a' et 'r' : Assurez-vous d'identifier correctement le premier terme et la raison. Divisez n'importe quel terme par le terme précédent pour trouver 'r'.
Oublier la condition (|r| < 1) pour les séries infinies : Vérifiez toujours si la valeur absolue de la raison est inférieure à 1 avant de tenter de calculer la somme d'une série géométrique infinie. Si ce n'est pas le cas, la série diverge.
Utiliser la mauvaise formule : N'oubliez pas d'utiliser la formule correcte pour les séries finies ou infinies.
Erreurs arithmétiques : Vérifiez vos calculs pour éviter les erreurs arithmétiques simples.
Mauvaise interprétation du problème : Lisez attentivement l'énoncé du problème pour comprendre ce qui est demandé. Vous demande-t-on la somme des n premiers termes, ou la somme de toute la série infinie ?
Application incorrecte de l'ordre des opérations : Assurez-vous d'évaluer l'exposant r^n avant d'effectuer d'autres opérations

Calcul de la somme d'une série géométrique dans le monde réel

Applications dans la finance

Les séries géométriques sont utilisées pour modéliser la dépréciation des actifs. Par exemple, si une voiture perd un pourcentage fixe de sa valeur chaque année, la valeur de la voiture au fil du temps peut être modélisée comme une série géométrique. Le calcul de la dépréciation totale sur plusieurs années implique l'addition de la série géométrique.

Applications dans les sciences et l'ingénierie

En physique, les séries géométriques peuvent être utilisées pour analyser le mouvement d'une balle rebondissante. À chaque rebond, la balle perd un certain pourcentage de sa hauteur. La distance totale parcourue par la balle avant qu'elle ne s'arrête peut être calculée à l'aide de la somme d'une série géométrique infinie. Une autre application se trouve en génie électrique, notamment dans l'analyse des réseaux en échelle de résistances.

FAQ du calcul de la somme d'une série géométrique

Quelle est la différence entre une série arithmétique et une série géométrique ?

Série arithmétique : Une série où la différence entre les termes consécutifs est constante (par exemple, 2 + 4 + 6 + 8 + ...). Chaque terme est obtenu en ajoutant une valeur constante (la raison arithmétique) au terme précédent.
Série géométrique : Une série où le rapport entre les termes consécutifs est constant (par exemple, 2 + 4 + 8 + 16 + ...). Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante (la raison géométrique).

Comment identifier une série géométrique ?

Pour identifier une série géométrique, divisez n'importe quel terme par son terme précédent. Si le résultat (la raison) est le même pour toutes les paires de termes consécutifs, alors la série est géométrique.

Par exemple :

Série : 5 + 10 + 20 + 40 + ...
10/5 = 2
20/10 = 2
40/20 = 2

Étant donné que le rapport est constamment de 2, il s'agit d'une série géométrique.

Une série géométrique peut-elle avoir une raison négative ?

Oui, une série géométrique peut avoir une raison négative. Cela se traduit par une série où les termes alternent en signe.

Exemple : 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ...

Ici, la raison est de -2.

Que se passe-t-il si la raison est supérieure à 1 ?

Si la raison ((r)) est supérieure à 1 dans une série géométrique, les termes augmenteront en magnitude.

Série finie : La somme sera un nombre positif plus grand.
Série infinie : La série divergera vers l'infini ; elle n'a pas de somme finie. Les termes deviennent de plus en plus grands, de sorte que la somme croît sans limite.

Comment calcule-t-on la somme d'une série géométrique infinie ?

La somme d'une série géométrique infinie est calculée à l'aide de la formule :

S_\infty = \frac{a}{1 - r}

Où :

(S_\infty) est la somme de la série géométrique infinie.
(a) est le premier terme de la série.
(r) est la raison.

Condition importante : Cette formule n'est valable que si la valeur absolue de la raison est inférieure à 1 ((|r| < 1)). Si (|r| \ge 1), la série diverge et n'a pas de somme finie.

Comment utiliser Mathos AI pour le calculateur de somme de séries géométriques

1. Entrez les détails de la série : entrez le premier terme, la raison commune et le nombre de termes de la série.

2. Cliquez sur « Calculer » : cliquez sur le bouton « Calculer » pour trouver la somme de la série géométrique.

3. Solution étape par étape : Mathos AI affichera chaque étape effectuée pour calculer la somme, en utilisant la formule de la somme d'une série géométrique.

4. Réponse finale : examinez la somme calculée, avec des explications claires pour chaque étape impliquée.

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