Mathos AI | Calculatrice Algébrique - Résoudre des Équations Algébriques Instantanément

Introduction à l'Algèbre

Avez-vous déjà essayé de résoudre un puzzle où certaines pièces manquent, et vous devez déterminer ce qui s'adapte où ? Bienvenue dans le monde de l'algèbre ! L'algèbre est comme un grand puzzle mathématique où des lettres et des symboles représentent des nombres inconnus. C'est une branche fondamentale des mathématiques qui nous aide à représenter des problèmes du monde réel à l'aide d'équations et de formules mathématiques. Que vous calculiez combien de temps il faut pour voyager quelque part, que vous déterminiez votre budget mensuel, ou même que vous codiez un programme informatique, l'algèbre est là pour vous aider.

Dans ce guide complet, nous allons déverrouiller les mystères de l'algèbre, décomposer ses concepts fondamentaux et vous montrer comment elle s'applique à la vie quotidienne. Préparez-vous à embarquer pour un voyage passionnant qui non seulement améliorera vos compétences en mathématiques, mais aussi renforcera vos capacités de résolution de problèmes !

Les Bases de l'Algèbre

Qu'est-ce que l'Algèbre ?

Au cœur de l'algèbre, c'est la branche des mathématiques qui traite des symboles et des règles pour manipuler ces symboles. Ces symboles (souvent des lettres comme $x$, $y$, et $z$) représentent des quantités sans valeurs fixes, connues sous le nom de variables. L'algèbre nous permet de créer des formules générales et de résoudre des problèmes pour de nombreuses valeurs différentes.

Concepts Clés :

• Variables : Symboles qui représentent des nombres inconnus ou changeants.
• Constantes : Valeurs fixes qui ne changent pas.
• Expressions : Combinaisons de variables, de constantes et d'opérations (comme l'addition et la multiplication).
• Équations : Énoncés mathématiques qui affirment l'égalité de deux expressions.

Comprendre les Variables et les Constantes

Les variables sont comme des boîtes vides qui peuvent contenir n'importe quel nombre. Ce sont des espaces réservés pour des valeurs que nous ne connaissons pas encore ou qui peuvent changer.

• Exemple : Dans l'expression $2 x+3, x$ est une variable.

Les constantes sont des nombres qui ont une valeur fixe.

• Exemple : Dans la même expression $2 x+3, 3$ est une constante.

Les variables et les constantes travaillent ensemble dans des expressions et des équations pour modéliser des situations du monde réel.

Le Langage de l'Algèbre

L'algèbre a son propre langage et ses symboles :

• Opérations : Addition ($+$), soustraction ($-$), multiplication ($\times$ ou implicite par juxtaposition), division ($\div$ ou $/$).
• Coefficients : Nombres multipliés par des variables. Dans $5 x$, $5$ est le coefficient.
• Termes : Les parties d'une expression séparées par addition ou soustraction. Dans $3x+2$, $3x$ et $2$ sont des termes.

Comprendre ce langage est crucial pour résoudre des problèmes algébriques.

Simplification des Expressions Algébriques

Pourquoi Simplifier les Expressions ?

Simplifier les expressions les rend plus faciles à manipuler et à comprendre. Cela implique de combiner des termes semblables et d'utiliser des propriétés mathématiques pour rendre les expressions aussi simples que possible.

Combinaison des Termes Semblables

Les termes semblables sont des termes qui ont les mêmes variables élevées à la même puissance.

• Exemple : $7x$ et $3x$ sont des termes semblables car ils contiennent tous deux $x$.

Comment Combiner les Termes Semblables :

1. Identifier les termes semblables dans l'expression.
2. Ajouter ou soustraire les coefficients des termes semblables.
3. Réécrire l'expression avec les termes combinés.

Exemple :

Simplifiez $4 x+5-2 x+3$.

1. Combinez les termes semblables ($4 x$ et $-2 x$) : $4 x - 2 x = 2 x$.
2. Combinez les constantes ($5$ et $3$) : $5 + 3 = 8$.
3. Réécrivez l'expression simplifiée : $2 x + 8$.

Utilisation de la Propriété Distributive

La propriété distributive vous permet de supprimer les parenthèses en distribuant la multiplication sur l'addition ou la soustraction.

Formule de la Propriété Distributive :

a(b+c)=a b+a c$$ #### Comment l'Utiliser : 1. Multipliez le terme à l'extérieur des parenthèses par chaque terme à l'intérieur. 2. Simplifiez l'expression résultante en combinant les termes semblables si nécessaire. Exemple : Simplifiez $3(2x+4)$. 1. Distribuez le $3$ à chaque terme à l'intérieur des parenthèses :

3 \cdot 2 x + 3 \cdot 4

$$2. Multipliez :$$

6 x + 12

### Simplification des Expressions Complexes Pour les expressions avec plusieurs parenthèses et termes, appliquez la propriété distributive et combinez les termes semblables étape par étape. Exemple: Simplifiez $2(x+3)+4(x-1)$. 1. Distribuez 2 à chaque terme à l'intérieur du premier ensemble de parenthèses :

2 \cdot x+2 \cdot 3=2 x+6

$$2. Distribuez 4 à chaque terme à l'intérieur du deuxième ensemble de parenthèses :$$

4 \cdot x-4 \cdot 1=4 x-4

$$3. Combinez les résultats :$$

2 x+6+4 x-4

$$4. Combinez les termes semblables :$$

(2 x+4 x)+(6-4)=6 x+2

Donc, $2(x+3)+4(x-1)$ se simplifie en $6 x+2$. ## Résoudre des Équations Algébriques ### Qu'est-ce qu'une Équation ? Une équation est une déclaration mathématique qui affirme l'égalité de deux expressions, en utilisant un signe égal ($=$). Résoudre une équation signifie trouver la valeur($s$) de la variable($s$) qui rend l'équation vraie. ### L'objectif de la Résolution d'Équations L'objectif principal est d'isoler la variable d'un côté de l'équation pour déterminer sa valeur. #### Résoudre des Équations à Une Étape Équations d'Addition ou de Soustraction - Exemple : Résoudre $x+7=12$. - Soustrayez $7$ des deux côtés : $x=12 - 7$ . - Solution : $x=5$. Équations de Multiplication ou de Division - Exemple : Résoudre $5x = 20$ . - Divisez les deux côtés par $5$ : $x=20 \div 5$. - Solution : $x=4$. #### Résoudre des Équations à Deux Étapes - Exemple : Résoudre $2x-3=7$. 1. Ajoutez 3 des deux côtés : $\mathbf{2 x}=10$. 2. Divisez les deux côtés par 2 : $x=5$. #### Résoudre des Équations à Plusieurs Étapes - Exemple : Résoudre $3(x-2) + 4=13$. 1. Distribuez : $3 x-6+4=13$. 2. Combinez les termes semblables : $3 x-2=13$. 3. Ajoutez 2 des deux côtés : $3 x=15$. 4. Divisez par 3 : $x=5$. #### Résoudre des Équations avec des Variables des Deux Côtés - Exemple : Résoudre $2 x+3=x+9$. 1. Soustrayez $x$ des deux côtés : $2 x-x+3=9$. 2. Simplifiez : $x+3=9$. 3. Soustrayez $3$ des deux côtés : $x=6$. #### Vérifier Votre Solution Substituez votre solution dans l'équation originale pour vérifier qu'elle satisfait l'équation. - Vérifiez : Est-ce que $2(6) +3=6+9$ ? - Côté Gauche : $12+3=15$ - Côté Droit : $6+9=15$ - Les deux côtés sont égaux, donc $x=6$ est correct. ## Comprendre les inégalités ### Qu'est-ce que les inégalités ? Une inégalité compare deux expressions et montre que l'une est supérieure, inférieure, supérieure ou égale, ou inférieure ou égale à l'autre. #### Symboles d'inégalité : - $>$ : Supérieur à - $<$ : Inférieur à - $\geq$ : Supérieur ou égal à - $\leq$ : Inférieur ou égal à #### Résoudre des inégalités Résoudre des inégalités est similaire à résoudre des équations, mais il y a une différence clé lorsque l'on multiplie ou divise les deux côtés par un nombre négatif : vous devez inverser le signe de l'inégalité. Exemple : Résoudre $2 x-5<9$ 1. Ajouter $5$ des deux côtés : $2 x<14$. 2. Diviser les deux côtés par $2 : x<7$. 3. Solution : Tous les nombres réels inférieurs à $7$. #### Règle spéciale : Multiplier ou diviser par des nombres négatifs - Exemple : Résoudre $-3 x>9$. 1. Diviser les deux côtés par $-3$ et inverser le signe de l'inégalité : $x<-3$. 2. Solution : Tous les nombres réels inférieurs à $-3$. #### Graphique des inégalités sur une droite numérique Le graphique aide à visualiser les solutions des inégalités. - Cercle ouvert : Le nombre n'est pas inclus (pour $>$ ou $<$ ). - Cercle fermé : Le nombre est inclus (pour $\geq$ ou $\leq$ ). - Ombrez le côté de la droite numérique représentant l'ensemble de solutions. ## Travailler avec des fractions algébriques ### Simplification des fractions algébriques Simplifiez en factorisant les numérateurs et les dénominateurs et en annulant les facteurs communs. Exemple : Simplifier $\frac{x^2-9}{x^2-6 x+9}$ 1. Factoriser le numérateur : $x^2-9=(x-3)(x+3)$. 2. Factoriser le dénominateur : $x^2-6 x+9=(x-3)(x-3)$. 3. Annuler les facteurs communs : $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$. ### Addition et soustraction de fractions algébriques Trouvez un dénominateur commun pour combiner les fractions. Exemple : Ajouter $\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}$ 1. Dénominateur commun : $x^2$. 2. Réécrire les fractions : - $\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2}$. 3. Ajouter : $\frac{x+2}{x^2}$. ### Multiplication et Division des Fractions Algébriques Multipliez les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Pour la division, multipliez par le réciproque. Exemple : Multipliez $\frac{2 x}{5} \times \frac{3}{x^2}$ 1. Multipliez les numérateurs : $2 x \times 3=6 x$. 2. Multipliez les dénominateurs : $5 \times x^2=5 x^2$. 3. Simplifiez : $\frac{6 x}{5 x^2}=\frac{6}{5 x}$. ## Résolution des Systèmes d'Équations ### Qu'est-ce qu'un Système d'Équations ? Un système d'équations se compose de deux équations ou plus avec les mêmes variables. Les solutions sont les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément. ### Méthodes pour Résoudre des Systèmes #### 1. Méthode de Substitution - Résolvez une équation pour une variable et substituez-la dans l'autre. Exemple : 1. Équation 1 : $y=2 x+3$. 2. Équation 2 : $x+y=7$. 3. Substituez $y$ dans l'Équation 2 : $x+(2 x+3)=7$. 4. Résolvez : $3 x+3=7 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$. 5. Substituez $x$ dans l'Équation 1 pour trouver $y$. #### 2. Méthode d'Élimination - Ajoutez ou soustrayez des équations pour éliminer une variable. Exemple : 1. Équation 1 : $2 x+y=10$. 2. Équation 2 : $-2 x+3 y=6$. 3. Ajoutez les équations : $(2 x-2 x)+(y+3 y)=10+6$. 4. Simplifiez : $4 y=16 \Rightarrow y=4$. 5. Substituez $y$ dans l'une des équations originales pour trouver $x$. ### Méthode Graphique - Tracez les deux équations et trouvez le point d'intersection. ## L'Algèbre dans le Monde Réel ### Résolution de Problèmes de Mots Traduire des situations du monde réel en expressions ou équations algébriques nous permet de résoudre des problèmes efficacement. Exemple : Problème : Un cinéma facture $8\$ pour les adultes et $5\$ pour les enfants. Si $150$ billets sont vendus pour un total de $1,050\$, combien de billets pour adultes ont été vendus ? Solution : 1. Soit $a$ le nombre de billets pour adultes, $c$ le nombre de billets pour enfants. 2. Établissez les équations : - Total des billets : $a+c=150$. - Ventes totales : $8 a+5 c=1,050$. 3. Résolvez le système en utilisant la substitution ou l'élimination. ### Algèbre en Finance Formule d'Intérêt Simple : $I=\operatorname{Prt}$ - $I$: Intérêt gagné - $P$ : Montant principal - $r$ : Taux d'intérêt annuel (décimal) - $t$ : Temps en années Exemple : Si vous investissez 1 000 $ à un taux d'intérêt annuel de $5 \%$ pendant 3 ans :

I=1,000 \times 0.05 \times 3=150 $

undefined