Mathos AI | Calculateur de raison géométrique

Le concept de base du calcul de la raison géométrique

Qu'est-ce que le calcul de la raison géométrique ?

La raison géométrique est un concept fondamental en mathématiques, en particulier dans l'étude des suites géométriques (ou progressions géométriques). Elle sert de facteur constant entre les termes consécutifs de la suite. La compréhension de la raison géométrique est essentielle pour analyser les modèles de croissance et de décroissance exponentielles.

Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme après le premier est trouvé en multipliant le terme précédent par un nombre fixe non nul. Ce nombre fixe est la raison géométrique.

La raison géométrique (souvent notée 'r') est la valeur constante obtenue en divisant n'importe quel terme de la suite géométrique par son terme précédent. Elle définit la relation multiplicative qui régit la suite.

Comment calculer la raison géométrique :

Pour calculer la raison géométrique :

1. Choisissez n'importe quel terme de la suite (sauf le premier).
2. Divisez ce terme par le terme qui le précède (le terme précédent).

Mathématiquement :

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

Où :

• r est la raison géométrique
• aₙ est n'importe quel terme de la suite
• a_{n-1} est le terme immédiatement avant aₙ

Exemples :

• Exemple 1 : La suite 3, 6, 12, 24, 48...

• Choisissez le terme 6. Le terme avant est 3.

• r = 6 / 3 = 2

• Choisissez le terme 12. Le terme avant est 6.

• r = 12 / 6 = 2

La raison géométrique est 2.

• Exemple 2 : La suite 200, 50, 12.5, 3.125...

• Choisissez le terme 50. Le terme avant est 200.

• r = 50 / 200 = 0.25 ou 1/4

La raison géométrique est 0.25.

• Exemple 3 : La suite -2, 4, -8, 16, -32...

• Choisissez le terme 4. Le terme avant est -2.

• r = 4 / -2 = -2

La raison géométrique est -2.

Importance de la compréhension des raisons géométriques

La raison géométrique est importante pour :

• Identifier les suites géométriques : Elle confirme si une suite est géométrique.
• Trouver les termes manquants : Elle permet de calculer n'importe quel terme dans la suite.
• Sommer les séries géométriques : Elle est essentielle pour calculer la somme des séries géométriques. La formule pour la somme des 'n' premiers termes d'une série géométrique est :

$$Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)$$

(où r ≠ 1)

• Comprendre la convergence et la divergence : Elle détermine si les séries géométriques infinies convergent ou divergent. Si |r| < 1, la série converge vers

$$a₁ / (1 - r)$$

Si |r| ≥ 1, la série diverge.

• Applications dans la modélisation du monde réel :
• Croissance de la population : La raison géométrique représente (1 + taux de croissance).
• Désintégration radioactive : La raison géométrique représente la fraction restante après chaque période.
• Fractales : La mise à l'échelle géométrique dans les fractales repose sur la raison géométrique.

Comment faire le calcul de la raison géométrique

Guide étape par étape

1. Identifier une suite géométrique : Assurez-vous que la suite est géométrique, ce qui signifie que chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un facteur constant.
2. Sélectionner deux termes consécutifs : Choisissez deux termes adjacents dans la suite. Il est généralement plus facile de choisir les deux premiers, mais n'importe quelle paire fonctionnera.
3. Diviser : Divisez le deuxième terme (le terme ultérieur) par le premier terme (le terme antérieur).
4. Vérifier (Facultatif mais recommandé) : Pour confirmer, répétez la division avec une autre paire de termes consécutifs. Si le résultat est le même, vous avez probablement trouvé la raison géométrique correcte.

Exemple :

Considérons la suite : 5, 15, 45, 135...

1. Termes consécutifs : Choisissons 5 et 15.
2. Diviser : 15 / 5 = 3
3. Vérifier : Essayons 45 et 15. 45 / 15 = 3.

Par conséquent, la raison géométrique est 3.

Erreurs courantes à éviter

• Diviser dans le mauvais ordre : Divisez toujours un terme par le terme avant lui, et non l'inverse.
• Supposer l'arithmétique : Ne confondez pas les suites géométriques avec les suites arithmétiques. Les suites arithmétiques impliquent une addition/soustraction, tandis que les suites géométriques impliquent une multiplication/division.
• Raison non constante : Si le rapport entre les termes consécutifs n'est pas constant, la suite n'est pas une suite géométrique, et il n'y a pas de raison géométrique.
• Termes nuls : Les suites géométriques ne contiennent idéalement pas de termes nuls (sauf éventuellement comme tout premier terme selon certaines définitions étendues).
• Confusion avec la différence commune : Dans les suites arithmétiques, une différence commune est ajoutée, et non une raison multipliée.

Calcul de la raison géométrique dans le monde réel

Applications dans la finance

Bien que le calcul des rendements en dollars soit moins axé sur les raisons géométriques, le concept est utile pour comprendre les rendements qui sont des pourcentages sur une période régulière. Supposons qu'un investissement croît constamment de 10 % chaque année. La raison géométrique représentant cette croissance est de 1.10 (représentant 110 % de la valeur de l'année précédente). Si l'investissement initial est de 1000, après 1 an, le montant est de 10001.10=1100. Après 2 ans, le montant est de 11001.10 = 1210. Cela forme une suite géométrique 1000, 1100, 1210.... avec une raison géométrique de 1.10.

Utilisation dans la recherche scientifique

• Désintégration radioactive : La désintégration des isotopes radioactifs suit une progression géométrique. La raison géométrique représente la fraction de la substance restante après chaque demi-vie. Par exemple, si la demi-vie laisse la moitié, la raison géométrique est de 0.5.
• Croissance bactérienne : Dans des conditions idéales, une population bactérienne peut croître géométriquement. Si la population double toutes les heures, la raison géométrique est de 2.
• Génétique : La transmission de certains traits peut parfois être modélisée à l'aide de probabilités géométriques.

FAQ du calcul de la raison géométrique

Qu'est-ce qu'une raison géométrique dans une suite géométrique ?

La raison géométrique est la valeur constante par laquelle vous multipliez n'importe quel terme d'une suite géométrique pour obtenir le terme suivant. Elle représente le facteur multiplicatif reliant les éléments consécutifs de la suite.

Comment trouver la raison géométrique ?

Pour trouver la raison géométrique, divisez n'importe quel terme de la suite géométrique par le terme qui le précède immédiatement. Cela peut être exprimé comme suit :

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

Exemple :

La suite suivante est une suite géométrique : 2, 6, 18, 54... Quelle est la raison géométrique (r) de cette suite ?

Réponse :

Pour trouver la raison géométrique (r) d'une suite géométrique, vous divisez n'importe quel terme par le terme qui le précède immédiatement. Dans cette suite :

• Vous pouvez diviser le deuxième terme (6) par le premier terme (2) : 6 / 2 = 3
• Ou, vous pouvez diviser le troisième terme (18) par le deuxième terme (6) : 18 / 6 = 3
• Ou, vous pouvez diviser le quatrième terme (54) par le troisième terme (18) : 54 / 18 = 3

Étant donné que chaque division donne la même valeur, la raison géométrique (r) de cette suite géométrique est 3.

Une raison géométrique peut-elle être négative ?

Oui, une raison géométrique peut être négative. Une raison géométrique négative entraîne une suite géométrique alternée, où les signes des termes alternent entre positif et négatif.

Exemple : La suite 1, -2, 4, -8, 16... a une raison géométrique de -2.

Quelle est la différence entre une raison géométrique et une différence commune ?

• Raison géométrique : S'applique aux suites géométriques. Chaque terme est multiplié par la raison géométrique pour obtenir le terme suivant.
• Différence commune : S'applique aux suites arithmétiques. Une différence constante est ajoutée à chaque terme pour obtenir le terme suivant.

Exemple :

• Suite géométrique (raison géométrique) : 2, 4, 8, 16... (Raison géométrique = 2)
• Suite arithmétique (différence commune) : 2, 4, 6, 8... (Différence commune = 2)

Comment la raison géométrique est-elle utilisée dans la croissance exponentielle ?

Dans la croissance exponentielle, la raison géométrique est supérieure à 1. Elle représente le facteur par lequel une quantité augmente à chaque période. Plus la raison géométrique est grande, plus la croissance exponentielle est rapide. Si la raison géométrique est exprimée sous la forme (1 + taux de croissance), le 'taux de croissance' représente l'augmentation en pourcentage par période. Par exemple, une raison géométrique de 1.05 signifie un taux de croissance de 5 % par période.