Mathos AI | 등비수열 합 계산기

등비수열 합 계산의 기본 개념

등비수열 합 계산이란 무엇인가?

'등비수열의 합' 계산은 수학에서 기본적인 개념으로, 등비수열의 총 값을 효율적으로 결정할 수 있게 해줍니다. 등비수열은 등비수열의 항들의 합이며, 각 항은 이전 항에 일정한 비율을 곱하여 유도됩니다.

• 수열: 숫자의 정렬된 목록.
• 등비수열: 이전 항에 **공비(r)**라고 하는 일정한 값을 곱하여 각 항을 구하는 수열. 예를 들어, 2, 4, 8, 16, 32...는 공비가 2인 등비수열입니다. 각 항은 이전 항의 두 배입니다.
• 등비급수: 등비수열의 항의 합. 따라서 위 수열의 경우 등비급수는 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...가 됩니다.

특히 항이 많은 등비수열의 합을 수동으로 계산하는 것은 지루하고 시간이 많이 걸릴 수 있습니다. 합에 대한 공식은 항의 수에 관계없이 총 값을 직접적이고 효율적으로 결정하는 방법을 제공합니다.

공식 이해하기

유한 등비수열과 무한 등비수열(특정 조건 하에서)에 대한 두 가지 주요 공식이 있습니다.

a) 유한 등비수열

유한 등비수열은 특정 항의 수를 갖습니다. 그 합에 대한 공식( (S_n)으로 표시)은 다음과 같습니다.

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

여기서:

• (S_n)는 수열의 처음 n개 항의 합입니다.
• (a)는 수열의 첫 번째 항입니다.
• (r)은 공비입니다.
• (n)은 수열의 항 수입니다.

예:

수열 3 + 6 + 12 + 24의 처음 4개 항의 합을 구한다고 가정해 보겠습니다.

• a = 3
• r = 2
• n = 4

$$S_4 = \frac{3(1 - 2^4)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 16)}{-1} = \frac{3(-15)}{-1} = 45$$

따라서 3 + 6 + 12 + 24 = 45입니다.

b) 무한 등비수열

무한 등비수열은 무한정 계속됩니다. 그러나 그 합은 공비의 절대값이 1보다 작을 때만( (|r| < 1)) 유한 값으로 수렴할 수 있습니다. 이 경우 합에 대한 공식( (S_\infty)로 표시)은 다음과 같습니다.

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$$

여기서:

• (S_\infty)는 무한 등비수열의 합입니다.
• (a)는 수열의 첫 번째 항입니다.
• (r)은 공비입니다(|r| < 1).

예:

무한 등비수열 4 + 2 + 1 + 1/2 + ...의 합을 구해 보겠습니다.

• a = 4
• r = 1/2

$$S_\infty = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

따라서 4 + 2 + 1 + 1/2 + ... = 8입니다.

등비수열 합 계산 방법

단계별 가이드

등비수열의 합을 계산하는 단계별 가이드입니다.

1. 수열을 등비수열로 식별:

• 연속된 항 사이에 일정한 비율이 있는지 확인합니다. 항을 이전 항으로 나눕니다. 모든 연속된 항 쌍에 대해 결과가 동일하면 등비수열입니다.

2. 'a', 'r' 및 'n'을 결정합니다(또는 무한대를 평가):

• 'a'(첫 번째 항): 수열의 첫 번째 항을 식별합니다.
• 'r'(공비): 항을 이전 항으로 나누어 공비를 계산합니다.
• 'n'(항의 수): 유한 수열인 경우 합산할 항의 수를 결정합니다.
• 무한대: 수열이 무한한 경우 (|r| < 1)인지 확인합니다. 그렇지 않으면 수열이 발산하고 유한한 합을 갖지 않습니다.

3. 올바른 공식을 선택하십시오:

• 유한 수열: 공식 (S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r})을 사용합니다.
• 무한 수열( (|r| < 1)인 경우): 공식 (S_\infty = \frac{a}{1 - r})을 사용합니다.

4. 공식에 값을 대입합니다:

• 선택한 공식에 'a', 'r' 및 'n' 값을 주의 깊게 대입합니다.

5. 합계를 계산합니다:

• 계산을 수행하여 등비수열의 합을 구합니다.

예(유한 수열):

수열 1 + 3 + 9 + 27 + 81의 처음 5개 항의 합을 구합니다.

1. 등비수열? 예(3/1 = 9/3 = 27/9 = 3)
2. 식별: a = 1, r = 3, n = 5
3. 공식: (S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r})
4. 대입: (S_5 = \frac{1(1 - 3^5)}{1 - 3})
5. 계산:

$$S_5 = \frac{1(1 - 243)}{-2} = \frac{-242}{-2} = 121$$

예(무한 수열):

무한 수열 9 + 3 + 1 + 1/3 + ...의 합을 구합니다.

1. 등비수열? 예(3/9 = 1/3 = (1/3)/1 = 1/3)
2. 식별: a = 9, r = 1/3
3. (|r| < 1) 확인: (|1/3| < 1) (참)
4. 공식: (S_\infty = \frac{a}{1 - r})
5. 대입: (S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}})
6. 계산:

$$S_\infty = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{1} * \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$$

피해야 할 일반적인 실수

• 'a'와 'r'을 잘못 식별: 첫 번째 항과 공비를 올바르게 식별해야 합니다. 'r'을 찾으려면 항을 이전 항으로 나눕니다.
• 무한 수열에 대한 조건 (|r| < 1)을 잊어버림: 무한 등비수열의 합을 계산하기 전에 항상 공비의 절대값이 1보다 작은지 확인하십시오. 그렇지 않으면 수열이 발산됩니다.
• 잘못된 공식 사용: 유한 수열 또는 무한 수열에 대한 올바른 공식을 기억하십시오.
• 산술 오류: 간단한 산술 오류를 피하기 위해 계산을 다시 확인하십시오.
• 문제를 잘못 해석: 문제 설명이 무엇을 묻고 있는지 이해하기 위해 주의 깊게 읽으십시오. 처음 n개 항의 합을 묻는 것입니까, 아니면 전체 무한 수열의 합을 묻는 것입니까?
• 연산 순서를 잘못 적용: 다른 연산을 수행하기 전에 지수 r^n을 평가해야 합니다.

실제 세계에서의 등비수열 합 계산

금융에서의 응용

등비수열은 자산의 감가상각을 모델링하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 자동차가 매년 가치의 고정된 비율을 잃는 경우 시간에 따른 자동차의 가치는 등비수열로 모델링할 수 있습니다. 몇 년에 걸쳐 총 감가상각을 계산하려면 등비수열을 합산해야 합니다.

과학 및 공학 분야의 응용

물리학에서 등비수열은 튀는 공의 움직임을 분석하는 데 사용할 수 있습니다. 각 바운스마다 공은 높이의 특정 비율을 잃습니다. 공이 정지하기 전에 이동한 총 거리는 무한 등비수열의 합을 사용하여 계산할 수 있습니다. 또 다른 응용 분야는 전기 공학, 특히 저항기의 래더 네트워크 분석입니다.

등비수열 합 계산 FAQ

산술 수열과 등비수열의 차이점은 무엇입니까?

• 산술 수열: 연속된 항 사이의 차이가 일정한 수열(예: 2 + 4 + 6 + 8 + ...). 각 항은 이전 항에 일정한 값(공차)을 더하여 얻습니다.
• 등비수열: 연속된 항 사이의 비율이 일정한 수열(예: 2 + 4 + 8 + 16 + ...). 각 항은 이전 항에 일정한 값(공비)을 곱하여 얻습니다.

등비수열을 식별하는 방법은 무엇입니까?

등비수열을 식별하려면 항을 이전 항으로 나눕니다. 결과(공비)가 모든 연속된 항 쌍에 대해 동일하면 수열은 등비수열입니다.

예를 들어:

• 수열: 5 + 10 + 20 + 40 + ...
• 10/5 = 2
• 20/10 = 2
• 40/20 = 2

비율이 지속적으로 2이므로 이는 등비수열입니다.

등비수열은 음의 공비를 가질 수 있습니까?

예, 등비수열은 음의 공비를 가질 수 있습니다. 이렇게 하면 항의 부호가 번갈아 나타나는 수열이 됩니다.

예: 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ...

여기서 공비는 -2입니다.

공비가 1보다 크면 어떻게 됩니까?

등비수열에서 공비((r))가 1보다 크면 항의 크기가 증가합니다.

• 유한 수열: 합계는 더 큰 양수가 됩니다.
• 무한 수열: 수열은 무한대로 발산합니다. 유한한 합이 없습니다. 항이 점점 더 커져서 합이 제한 없이 증가합니다.

무한 등비수열의 합은 어떻게 계산됩니까?

무한 등비수열의 합은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$$

여기서:

• (S_\infty)는 무한 등비수열의 합입니다.
• (a)는 수열의 첫 번째 항입니다.
• (r)은 공비입니다.

중요 조건: 이 공식은 공비의 절대값이 1보다 작은 경우에만 유효합니다((|r| < 1)). (|r| \ge 1)이면 수열이 발산되고 유한한 합을 갖지 않습니다.