Mathos AI | 이항 분포 계산기 - 정규 근사

이항 분포 계산에 대한 정규 근사의 기본 개념

이항 분포 계산에 대한 정규 근사란 무엇입니까?

이항 분포에 대한 정규 근사는 정규 분포를 사용하여 이항 분포와 관련된 확률을 추정하는 데 사용되는 통계적 방법입니다. 이 접근 방식은 시행 횟수가 많을 때 특히 유용하며, 이 경우 이항 분포가 정규 분포의 종 모양 곡선과 유사해지기 시작합니다. 이 근사를 사용하면 정규 분포의 속성과 도구를 활용하여 이항 확률 계산을 단순화할 수 있습니다.

정규 근사를 사용하는 이유는 무엇입니까?

정규 근사를 사용하는 주된 이유는 단순화와 편의성입니다. 특히 시행 횟수가 많은 경우 이항 확률을 직접 계산하는 것은 계산 집약적일 수 있습니다. 정규 근사는 이러한 계산을 크게 단순화합니다. 또한 정규 분포 표와 계산기를 널리 사용할 수 있으므로 이항 계수를 계산하는 것보다 확률을 쉽게 찾을 수 있습니다.

이항 분포 계산에 대한 정규 근사 수행 방법

단계별 가이드

1. 매개변수 식별: 시행 횟수 $n$과 단일 시행에서 성공 확률 $p$를 결정합니다.

2. 평균 및 표준 편차 계산:

• 평균($\mu$)은 다음과 같이 주어집니다.

$$\mu = n \cdot p$$

• 표준 편차($\sigma$)는 다음과 같이 계산됩니다.

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$$

3. 연속성 보정 적용: 이항 분포는 이산적이고 정규 분포는 연속적이므로 이 차이를 조정합니다.

• $P(X = k)$를 근사하려면 $P(k - 0.5 < X < k + 0.5)$를 사용합니다.
• $P(X \leq k)$를 근사하려면 $P(X < k + 0.5)$를 사용합니다.
• $P(X \geq k)$를 근사하려면 $P(X > k - 0.5)$를 사용합니다.
• $P(a \leq X \leq b)$를 근사하려면 $P(a - 0.5 < X < b + 0.5)$를 사용합니다.

4. Z-점수 계산: 다음을 사용하여 관심 값을 Z-점수로 변환합니다.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

여기서 $X$는 관심 값입니다.

5. 확률 찾기: 표준 정규 분포 표 또는 계산기를 사용하여 계산된 Z-점수와 관련된 확률을 찾습니다.

주요 고려 사항 및 가정

• 정규 근사는 $n$이 크고 $p$가 0.5에 가까울 때 가장 정확합니다.
• 정규 근사를 사용하기 위한 조건은 $n \cdot p \geq 5$ 및 $n \cdot (1 - p) \geq 5$입니다.
• 연속성 보정은 근사의 정확도를 향상시키는 데 중요합니다.

실제 세계의 이항 분포 계산에 대한 정규 근사

실제 응용

정규 근사는 품질 관리, 선거 여론 조사 및 의료 테스트와 같은 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 품질 관리에서 회사는 대량 배치에서 특정 수의 불량 품목을 생산할 확률을 추정하는 데 사용할 수 있습니다.

사례 연구

1. 품질 관리: 한 회사가 5%의 불량률로 1000개의 전구를 생산합니다. 60개 이상의 불량 전구의 확률을 찾기 위해 $n \cdot p = 50$ 및 $n \cdot (1 - p) = 950$이므로 정규 근사를 적용할 수 있습니다.

2. 선거 여론 조사: 여론 조사관은 52%의 실제 지지율로 후보자에 대한 지지율을 결정하기 위해 500명을 대상으로 설문 조사를 실시합니다. 정규 근사는 여론 조사에서 50% 미만의 지지율을 보일 확률을 추정하는 데 도움이 됩니다.

3. 의료 테스트: 200명의 환자와 70%의 유효성 비율로 약물 시험에서 정규 근사는 약물이 최소 130명의 환자에게 효과적일 확률을 추정할 수 있습니다.

이항 분포 계산에 대한 정규 근사에 대한 FAQ

이항 분포에 대한 정규 근사를 사용하기 위한 조건은 무엇입니까?

조건은 $n \cdot p \geq 5$ 및 $n \cdot (1 - p) \geq 5$입니다. 이를 통해 이항 분포가 정규 근사에 충분히 대칭적인지 확인합니다.

정규 근사가 적절한지 어떻게 판단합니까?

$n \cdot p \geq 5$ 및 $n \cdot (1 - p) \geq 5$인지 확인하십시오. 이러한 조건이 충족되면 근사가 적절합니다.

정규 근사 사용의 한계는 무엇입니까?

$n$이 작거나 $p$가 0 또는 1에 매우 가까운 경우 근사가 정확하지 않을 수 있습니다. 또한 연속성 보정을 적용하지 않으면 정확도가 떨어집니다.

연속성 보정은 정규 근사에 어떻게 적용됩니까?

연속성 보정은 연속 정규 분포를 사용할 때 이항 분포의 이산적 특성을 조정합니다. 근사의 정확도를 향상시킵니다.

정규 근사를 작은 표본 크기에 사용할 수 있습니까?

정규 근사는 일반적으로 정확한 결과를 제공하지 않을 수 있으므로 작은 표본 크기에는 권장되지 않습니다. $n$이 크고 $p$가 0 또는 1에 너무 가깝지 않은 경우에 가장 잘 사용됩니다.