Mathos AI | 등비 계산기

등비 계산의 기본 개념

등비 계산이란 무엇입니까?

등비는 수학, 특히 등비수열 연구에서 기본적인 개념입니다. 수열에서 연속적인 항 사이의 상수 계수 역할을 합니다. 등비를 이해하는 것은 지수적 성장 및 감소 패턴을 분석하는 데 매우 중요합니다.

등비수열은 첫 번째 항 이후 각 항이 이전 항에 고정된 0이 아닌 숫자를 곱하여 찾은 숫자 수열입니다. 이 고정된 숫자가 등비입니다.

**등비(종종 'r'로 표시)**는 등비수열의 모든 항을 이전 항으로 나누어 얻은 상수 값입니다. 수열을 지배하는 곱셈 관계를 정의합니다.

등비 계산 방법:

등비를 계산하려면:

1. 수열에서 임의의 항을 선택합니다(첫 번째 항 제외).
2. 해당 항을 이전 항(이전 항)으로 나눕니다.

수학적으로:

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

여기서:

• r은 등비입니다.
• aₙ은 수열의 임의의 항입니다.
• a_{n-1}은 aₙ 바로 앞의 항입니다.

예시:

• 예시 1: 수열 3, 6, 12, 24, 48...

• 항 6을 선택합니다. 이전 항은 3입니다.

• r = 6 / 3 = 2

• 항 12를 선택합니다. 이전 항은 6입니다.

• r = 12 / 6 = 2

등비는 2입니다.

• 예시 2: 수열 200, 50, 12.5, 3.125...

• 항 50을 선택합니다. 이전 항은 200입니다.

• r = 50 / 200 = 0.25 또는 1/4

등비는 0.25입니다.

• 예시 3: 수열 -2, 4, -8, 16, -32...

• 항 4를 선택합니다. 이전 항은 -2입니다.

• r = 4 / -2 = -2

등비는 -2입니다.

등비 이해의 중요성

등비는 다음에 중요합니다.

• 등비수열 식별: 수열이 등비인지 확인합니다.
• 누락된 항 찾기: 수열 내 임의의 항을 계산할 수 있습니다.
• 등비급수 합산: 등비급수의 합을 계산하는 데 중요합니다. 등비급수의 처음 'n'개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$$Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)$$

(여기서 r ≠ 1)

• 수렴 및 발산 이해: 무한 등비급수가 수렴하는지 발산하는지 결정합니다. |r| < 1이면 급수가 다음으로 수렴합니다.

$$a₁ / (1 - r)$$

|r| ≥ 1이면 급수가 발산합니다.

• 실제 세계 모델링에서의 응용:
• 인구 증가: 등비는 (1 + 성장률)을 나타냅니다.
• 방사성 붕괴: 등비는 각 시간 간격 후에 남은 분수를 나타냅니다.
• 프랙탈: 프랙탈의 기하학적 스케일링은 등비에 의존합니다.

등비 계산 방법

단계별 가이드

1. 등비수열 식별: 수열이 등비인지 확인합니다. 즉, 각 항은 이전 항에 상수 계수를 곱하여 얻습니다.
2. 두 개의 연속 항 선택: 수열에서 인접한 두 개의 항을 선택합니다. 일반적으로 처음 두 개를 선택하는 것이 가장 쉽지만 임의의 쌍이 작동합니다.
3. 나누기: 두 번째 항(나중 항)을 첫 번째 항(이전 항)으로 나눕니다.
4. 확인(선택 사항이지만 권장): 확인하려면 다른 연속 항 쌍으로 나누기를 반복합니다. 결과가 같으면 올바른 등비를 찾은 것 같습니다.

예시:

다음 수열을 고려합니다: 5, 15, 45, 135...

1. 연속 항: 5와 15를 선택합니다.
2. 나누기: 15 / 5 = 3
3. 확인: 45와 15를 시도해 보겠습니다. 45 / 15 = 3.

따라서 등비는 3입니다.

피해야 할 일반적인 실수

• 잘못된 순서로 나누기: 항상 항을 이전 항으로 나누고 반대 방향으로 나누지 마십시오.
• 산술 가정: 등비수열과 산술수열을 혼동하지 마십시오. 산술수열은 덧셈/뺄셈을 포함하고 등비수열은 곱셈/나눗셈을 포함합니다.
• 비상수 비: 연속 항 사이의 비가 상수 아니면 수열은 등비수열이 아니며 등비가 없습니다.
• 0 항: 등비수열은 이상적으로 0 항을 포함하지 않습니다(특정 확장된 정의에 따라 맨 처음 항으로 가능할 수 있음).
• 공차와 혼동: 산술수열에서는 비율을 곱하지 않고 공차를 더합니다.

실제 세계에서의 등비 계산

금융에서의 응용

달러로 수익을 계산하는 것은 등비와 관련이 적지만 이 개념은 정기적인 기간 동안 백분율인 수익을 이해하는 데 유용합니다. 투자가 매년 10%씩 꾸준히 성장한다고 가정합니다. 이 성장을 나타내는 등비는 1.10입니다(이전 연도 값의 110%를 나타냄). 초기 투자가 1000이면 1년 후 금액은 10001.10=1100입니다. 2년 후 금액은 11001.10 = 1210입니다. 이는 등비 1.10으로 등비수열 1000, 1100, 1210....을 형성합니다.

과학 연구에서의 사용

• 방사성 붕괴: 방사성 동위원소의 붕괴는 등비 진행을 따릅니다. 등비는 각 반감기 후에 남은 물질의 분수를 나타냅니다. 예를 들어, 반감기가 절반을 남기면 등비는 0.5입니다.
• 박테리아 성장: 이상적인 조건에서 박테리아 개체군은 기하급수적으로 성장할 수 있습니다. 개체군이 매시간 두 배로 증가하면 등비는 2입니다.
• 유전학: 특정 특성의 전달은 때때로 기하학적 확률을 사용하여 모델링할 수 있습니다.

등비 계산 FAQ

등비수열에서 등비란 무엇입니까?

등비는 등비수열에서 임의의 항에 곱하여 다음 항을 얻는 상수 값입니다. 수열에서 연속적인 요소를 연결하는 곱셈 계수를 나타냅니다.

등비를 찾는 방법은 무엇입니까?

등비를 찾으려면 등비수열의 임의의 항을 바로 앞의 항으로 나눕니다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

예시:

다음 수열은 등비수열입니다: 2, 6, 18, 54... 이 수열의 등비(r)는 무엇입니까?

답변:

등비수열의 등비(r)를 찾으려면 임의의 항을 바로 앞의 항으로 나눕니다. 이 수열에서:

• 두 번째 항(6)을 첫 번째 항(2)으로 나눌 수 있습니다: 6 / 2 = 3
• 또는 세 번째 항(18)을 두 번째 항(6)으로 나눌 수 있습니다: 18 / 6 = 3
• 또는 네 번째 항(54)을 세 번째 항(18)으로 나눌 수 있습니다: 54 / 18 = 3

각 나눗셈이 동일한 값을 생성하므로 이 등비수열의 등비(r)는 3입니다.

등비가 음수일 수 있습니까?

예, 등비는 음수일 수 있습니다. 음수 등비는 항의 부호가 양수와 음수 사이에서 번갈아 나타나는 교대 등비수열을 생성합니다.

예시: 수열 1, -2, 4, -8, 16...의 등비는 -2입니다.

등비와 공차의 차이점은 무엇입니까?

• 등비: 등비수열에 적용됩니다. 각 항에 등비를 곱하여 다음 항을 얻습니다.
• 공차: 산술수열에 적용됩니다. 각 항에 상수 차를 더하여 다음 항을 얻습니다.

예시:

• 등비수열(등비): 2, 4, 8, 16... (등비 = 2)
• 산술수열(공차): 2, 4, 6, 8... (공차 = 2)

등비는 지수적 성장에서 어떻게 사용됩니까?

지수적 성장에서 등비는 1보다 큽니다. 각 시간 간격 동안 양이 증가하는 계수를 나타냅니다. 등비가 클수록 지수적 성장이 빨라집니다. 등비가 (1 + 성장률)로 표시되면 '성장률'은 기간당 백분율 증가를 나타냅니다. 예를 들어, 등비 1.05는 기간당 5%의 성장률을 의미합니다.