무료 온라인 적분 계산기

적분은 누적을 측정합니다. 미적분학에서 가장 일반적인 의미는 곡선 아래의 넷 부호 면적입니다. 적분 계산기는 보통 부정적분(원시함수)이나 정적분(숫자값)을 반환합니다. 예를 들어, 부정적분 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$는 여러 함수에 같은 도함수가 존재하므로 함수족을 반환하며, $C$는 그 수직 이동을 나타냅니다.

정적분은 구간을 포함하며 값으로 결과를 줍니다: $\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$ 기하학적으로 이는 $x=0$부터 $x=1$까지 $y=3x^2$와 $x$축 사이의 넷 부호 면적입니다. 함수가 축 아래로 내려가면 그 부분은 음수로 계산되어 부호 면적이라고 부릅니다.

단계별 적분 계산기를 사용할 때 보통 두 가지를 묻습니다: (1) 어떤 적분 기법을 적용할지 (법칙, 치환, 부분적분 등), (2) 표현식을 깔끔한 최종 결과로 단순화하는 방법. Mathos AI는 이 둘 모두에 집중해 단순히 버튼을 누르는 것이 아닌 방법의 이유를 이해하도록 돕습니다.

부정적분은 함수 $F(x)$가 $F'(x)=f(x)$를 만족하도록 풉니다. 그래서 결과에 항상 +C가 포함됩니다. 예: $\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.$ $C$가 빠진 답변은 대부분 기호 적분 맥락에서 불완전합니다.

정적분 계산기는 $\int_a^b f(x)\,dx$를 원시함수 $F$를 찾고 나서 구간을 적용해 평가합니다: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ 이것이 바로 미적분학의 기본 정리입니다. 예를 들어, $\int_{-1}^{2} (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_{-1}^{2} = (4+2)-(1-1)=6.$

경우에 따라 구간은 특별한 상황을 만듭니다. 부적절 적분에서 구간 중 하나가 무한대거나 함수가 구간 내에서 정의되지 않을 수 있습니다. 이때 적분은 극한으로 정의되어 계산됩니다. 예: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.$ 단계별 적분 계산기는 이 극한 과정을 명확히 보여줘야 합니다.

방법 선택은 '적분 계산법' 중 가장 어렵습니다. 패턴 인식부터 시작하세요. $x$의 거듭제곱이 보이면 거듭제곱 법칙을 사용합니다: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1).$ $\frac{1}{x}$가 보이면 $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.$ 를 기억하세요. 삼각함수와 지수 기본에는 $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$ 등이 있습니다.

치환적분(또는 치환법)은 합성함수와 그 도함수(또는 거의 도함수)가 있을 때 적용됩니다. 예: $\int 2x\cos(x^2)\,dx.$ $u=x^2$라 두면 $du=2x\,dx$, 그리고 $\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C.$ 이는 전형적인 '내부 함수 + 도함수' 패턴입니다.

부분적분은 곱의 적분을 다루며 $\int u\,dv = uv-\int v\,du.$ 에 기반합니다. 흔한 예는 $\int x e^x\,dx.$ $u=x$, $dv=e^x\,dx$를 선택하면 $x e^x-\int e^x\,dx = x e^x-e^x+C = e^x(x-1)+C.$ 유리함수 $\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx$ 같은 경우는 적분 전에 대수적 단순화나 부분분수 분해가 필요할 수 있습니다.