Mathos AI | Antiderivative Calculator - Finde unbestimmte Integrale

Einführung in Antiderivate

Hast du dich jemals gefragt, wie man den Prozess der Differenzierung umkehrt, um die ursprüngliche Funktion zu finden, wenn man ihre Ableitung hat? Willkommen in der faszinierenden Welt der Antiderivate! Antiderivate, auch bekannt als unbestimmte Integrale, sind ein grundlegendes Konzept in der Analysis. Sie ermöglichen es uns, Funktionen aus ihren Ableitungen zu rekonstruieren, was uns hilft, Probleme zu lösen, die Flächen unter Kurven, Bewegung, Akkumulation und vieles mehr betreffen.

In diesem umfassenden Leitfaden werden wir Antiderivate entmystifizieren, Methoden zu ihrer Bestimmung erkunden und wichtige Regeln für Antiderivate besprechen. Wir werden die Antiderivate gängiger Funktionen untersuchen, einschließlich trigonometrischer Funktionen wie Sinus, Kosinus und Tangens sowie logarithmischer und exponentieller Funktionen. Außerdem werden wir dir den Mathos AI Antiderivative Calculator mit Schritten vorstellen, ein leistungsstarkes Werkzeug, das komplexe Berechnungen vereinfacht und dein Verständnis durch detaillierte Lösungen verbessert.

Egal, ob du ein Student bist, der zum ersten Mal mit Analysis-Problemen konfrontiert wird, oder jemand, der seine Fähigkeiten auffrischen möchte, dieser Leitfaden wird Antiderivate leicht verständlich und angenehm machen!

Was ist ein Antiderivat?

Verständnis des Konzepts der Antiderivate

Ein Antiderivat einer Funktion $f(x)$ ist eine andere Funktion $F(x)$, so dass, wenn du $F(x)$ ableitest, du $f(x)$ erhältst:

$$F^{ ext{'} }(x)=f(x)$$

Einfacher ausgedrückt, wenn du die Änderungsrate von etwas kennst (die Ableitung), sagt dir das Antiderivat die ursprüngliche Größe. Ein Antiderivat zu finden ist im Wesentlichen das Gegenteil davon, eine Ableitung zu finden.

Wichtige Punkte zu beachten:

• Nicht eindeutig: Antiderivate sind nicht eindeutig. Wenn $F(x)$ ein Antiderivat von $f(x)$ ist, dann ist $F(x)+C$ ebenfalls ein Antiderivat, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist. Dies liegt daran, dass die Ableitung einer Konstante null ist.
• Unbestimmte Integrale: Die Sammlung aller möglichen Antiderivate von $f(x)$ wird als unbestimmtes Integral von $f(x)$ bezeichnet.

Notation:

Das Antiderivat oder unbestimmte Integral von $f(x)$ wird durch das Integralsymbol dargestellt:

$$\int f(x) d x=F(x)+C$$

• Das Symbol $\int$ ist das Integralsymbol.
• $f(x)$ ist der Integrand, die Funktion, die Sie integrieren.
• $d x$ zeigt die Integrationsvariable an.
• $C$ ist die Integrationskonstante.

Analogie aus der realen Welt

Denken Sie an Differenzierung und Integration wie an das Gehen einen Hügel hinauf und hinunter:

• Differenzierung: Gegeben die Form des Hügels (die Funktion), die Steilheit an jedem Punkt finden (die Ableitung).
• Integration: Gegeben die Steilheit an jedem Punkt (die Ableitung), die Form des Hügels rekonstruieren (die ursprüngliche Funktion).

Warum sind Antiderivate wichtig?

Anwendungen von Antiderivaten

Antiderivate sind in verschiedenen Bereichen entscheidend:

• Physik: Berechnung der Verschiebung aus der Geschwindigkeit oder der Geschwindigkeit aus der Beschleunigung.
• Ingenieurwesen: Analyse von Systemen, in denen die Ansammlung von Größen entscheidend ist.
• Wirtschaft: Bestimmung der Gesamtkosten oder Einnahmen aus marginalen Kosten- oder Einnahmefunktionen.
• Wahrscheinlichkeit und Statistik: Finden von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und erwarteten Werten.

Das Verständnis von Antiderivaten ermöglicht es Ihnen:

• Flächen zu berechnen: Unter Kurven oder zwischen Funktionen.
• Differentialgleichungen zu lösen: Essentiell zur Modellierung realer Phänomene.
• Bewegung zu analysieren: Bestimmung von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigungsbeziehungen.

Wie findet man Antiderivate?

Der Prozess der Findung von Antiderivaten

Die Suche nach einem Antiderivativ beinhaltet das Umkehren des Differenzierungsprozesses. So können Sie es angehen:

1. Bestimmen Sie den Typ der Funktion:

• Ist es eine polynomiale, exponentielle, trigonometrische oder logarithmische Funktion?
• Ähnelt es einer bekannten Ableitung?

2. Wenden Sie die Regeln für Antiderivate an:

• Verwenden Sie grundlegende Antiderivativformeln.
• Erkennen Sie Muster, die den Standardformen entsprechen.

3. Verwenden Sie Integrationstechniken (falls erforderlich):

• Substitution: Für zusammengesetzte Funktionen.
• Integration durch Teile: Wenn der Integrand ein Produkt von Funktionen ist.
• Partielle Brüche: Für rationale Funktionen.

4. Fügen Sie die Konstante der Integration hinzu:

• Fügen Sie immer $+C$ hinzu, um die Familie der Antiderivate darzustellen.

Beispiel:

Finden Sie das Antiderivat von $f(x)=2 x$. Lösung:

1. Bestimmen Sie den Funktionstyp:

• Es ist eine polynomiale Funktion.

2. Wenden Sie die Potenzregel für Antiderivate an:

• $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

3. Berechnen Sie das Antiderivat:

$$\int 2 x d x=2 \int x d x=2\left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right)+C=2\left(\frac{x^2}{2}\right)+C=x^2+C$$

Antwort: $x^2+C$

Was sind die grundlegenden Regeln für Antiderivate?

Das Verständnis der grundlegenden Regeln für Antiderivate ist entscheidend, um Integrale effizient zu lösen.

Grundlegende Antiderivatformeln

1. Potenzregel:

Für jede reelle Zahl $n \neq-1$ :

$$\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Erklärung:

• Diese Regel kehrt die Potenzregel für Ableitungen um.
• Denken Sie daran, dass $n$ nicht -1 sein kann, da die Division durch Null undefiniert ist.

2. Unbestimmtes Integral von Exponentialfunktionen:

• Natürliche Exponentialfunktion:

$$\int e^x d x=e^x+C$$

• Da die Ableitung von $e^x$ $e^x$ ist, ist das unbestimmte Integral ebenfalls $e^x$.
• Allgemeine Exponentialfunktion:

$$\int a^x d x=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(\text { für } a>0, a \neq 1)$$

• Hier ist $\ln a$ der natürliche Logarithmus von $a$.

3. Unbestimmtes Integral der reziproken Funktion:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

• Der Betrag stellt sicher, dass die Funktion für $x \neq 0$ definiert ist.

4. Unbestimmte Integrale von trigonometrischen Funktionen:

• Sinusfunktion:

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

• Da $\frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x$.
• Kosinusfunktion:

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

• Weil $\frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x$.
• Sekantenquadratfunktion:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

• $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$.
• Kosekantenquadratfunktion:

$$\int \csc ^2 x d x=-\cot x+C$$

• Sekante mal Tangente:

$$\int \sec x \tan x d x=\sec x+C$$

• Kosekante mal Kotangente:

$$\int \csc x \cot x d x=-\csc x+C$$

5. Unbestimmtes Integral der logarithmischen Funktion:

• Obwohl die natürliche Logarithmusfunktion $\ln x$ keine grundlegende Formel für unbestimmte Integrale hat, kann sie mit der Methode der partiellen Integration integriert werden (später erklärt).

Warum diese Formeln auswendig lernen?

• Effizienz: Das Erkennen standardisierter Formen beschleunigt die Problemlösung.
• Grundlage: Sie sind Bausteine für komplexere Integrale.
• Vielseitigkeit: Anwendbar in verschiedenen mathematischen und realen Problemen.

Wie verwenden Sie die Notation des unbestimmten Integrals für unbestimmte Integrale?

Verständnis der Notation

Die unbestimmte Integralnotation $\int f(x) d x$ repräsentiert alle Antiderivationen von $f(x)$.

• Integralsymbol $\int:$ Symbolisiert die Operation der Integration.
• Integrand $f(x)$ : Die Funktion, die integriert wird.
• Differential $d x$ : Gibt die Integrationsvariable an.
• Konstante der Integration $+C$ : Berücksichtigt alle möglichen Antiderivationen, die sich um eine Konstante unterscheiden.

Beispiel:

Gegeben $f(x)=3 x^2$, finde $\int f(x) d x$. Lösung:

$$\int u d v=u v-\int v d u$$

Schritte:

1. Wähle $u$ und $d v$ :

• Lass $u=\ln x$ (da es einfacher ist, zu differenzieren).
• Lass $d v=d x$ (da die Integration von $d x$ unkompliziert ist).

2. Berechne $d u$ und $v$ :

• $d u=\frac{1}{x} d x$
• $v=x$

3. Wende die Formel an:

$$\int \ln x d x=x \ln x-\int x\left(\frac{1}{x}\right) d x=x \ln x-\int 1 d x=x \ln x-x+C$$

Antwort:

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

Was ist die Antiderivierte von $\sin x$ ? Wie bereits besprochen:

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

Denk daran:

• Die Ableitung von $-\cos x$ ist $\sin x$.
• Das Minuszeichen ist entscheidend; es wegzulassen führt zu einer falschen Antiderivierten.

Was ist die Antiderivierte von $\cos x ?$

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

Schlüsselpunkt:

• Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$, daher ist die Antiderivierte von $\cos x$ $\sin x+C$.

Was ist die Antiderivierte von $\tan x$ ?

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

Erklärung:

• Mit der Identität $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ und Integrationstechniken gelangen wir zur Antiderivierten, die einen Logarithmus enthält.

Was ist die Antiderivierte von $\ln x$ ?

Verwendung der Integration durch Teile:

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

Verständnis der Integration durch Teile:

• Die Integration durch Teile leitet sich von der Produktregel der Differentiation ab.
• Sie ist nützlich, wenn der Integrand ein Produkt von Funktionen ist, wobei eine Funktion bei der Differentiation einfacher wird.

Was ist die Antiderivierte von $\frac{1}{x}$ ?

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Wichtiger Hinweis:

• Die Funktion $\frac{1}{x}$ ist einzigartig, da ihre Stammfunktion einen Logarithmus beinhaltet.
• Der Betrag stellt sicher, dass der Logarithmus für negative Werte von $x$ definiert ist.

Was ist die Stammfunktion von $\sec x$?

$$\int \sec x \, d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

Warum ist das nützlich?

• Die Stammfunktion von $\sec x$ ist nicht sofort offensichtlich, aber sie ist entscheidend für die Lösung von Integralen, die Sekantenfunktionen beinhalten.
• Sie ist besonders nützlich bei trigonometrischen Substitutionen und Integrationsproblemen.

Wie funktionieren trigonometrische Stammfunktionen?

Verständnis trigonometrischer Funktionen

Trigonometrische Funktionen beschreiben Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken und periodischen Phänomenen. Das Wissen um ihre Stammfunktionen ist entscheidend in der Analysis.

Häufige trigonometrische Stammfunktionen

1. Sinus und Kosinus:

• $\int \sin x \, d x=-\cos x+C$
• $\int \cos x \, d x=\sin x+C$

2. Tangens und Kotangens:

• $\int \tan x \, d x=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \cot x \, d x=\ln |\sin x|+C$

3. Sekante und Kosekante:

• $\int \sec x \, d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x \, d x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

4. Sekante zum Quadrat und Kosekante zum Quadrat:

• $\int \sec ^2 x \, d x=\tan x+C$
• $\int \csc ^2 x \, d x=-\cot x+C$

Tipps für trigonometrische Integrale

• Merke dir wichtige Stammfunktionen: Diese auswendig zu wissen, spart Zeit.
• Verwende Identitäten: Trigonometrische Identitäten können Integrale vereinfachen.
• Substitution: Manchmal macht es die Änderung der Variablen das Integral handhabbar.

Wie kann der Mathos AI Stammfunktion Rechner helfen?

Einführung in den Mathos AI Stammfunktion Rechner mit Schritten

Der Mathos AI Stammfunktion Rechner ist ein leistungsstarkes Werkzeug, das Ihnen hilft, Stammfunktionen zu finden, insbesondere wenn manuelle Berechnungen komplex werden.

Funktionen und Vorteile

• Schritt-für-Schritt-Lösungen:
• Zerlegt den Integrationsprozess in verständliche Schritte.
• Hilft Ihnen, die Methodik hinter der Lösung zu lernen.
• Handhabung komplexer Funktionen:
• In der Lage, Funktionen zu integrieren, die trigonometrische, exponentielle, logarithmische und rationale Ausdrücke enthalten.
• Benutzerfreundliche Oberfläche:
• Intuitive Eingabemethoden für mathematische Ausdrücke.
• Sofortige Ergebnisse mit klaren Erklärungen.
• Bildungsressource:
• Verbessert das Lernen, indem nicht nur die Antwort, sondern auch der Prozess gezeigt wird.
• Nützlich zum Überprüfen von Hausaufgaben und zum Verstehen von Fehlern.

Beispiel:

Problem: Finde die Stammfunktion von $f(x)=\tan x$.

Verwendung des Mathos AI Rechners:

• Eingabe: $\tan (\mathrm{x})$
• Ausgabe:

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C$$

• Bereitgestellte Schritte:
• Zeigt die Substitution von $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.
• Demonstriert den Integrationsprozess unter Verwendung der Substitution.

Was ist das Symbol für die Stammfunktion und was bedeutet es?

Verständnis des Symbols für die Stammfunktion

Das Symbol für die Stammfunktion ist das Integralsymbol, dargestellt durch $\int$. Es leitet sich von einem verlängerten " $S$ " ab, das das Konzept der Summation repräsentiert.

Komponenten der Notation für das unbestimmte Integral:

• Integralsymbol $\int:$ Zeigt die Operation der Integration an.
• Integrand $f(x)$ : Die Funktion, die Sie integrieren.
• Differential $d x$ : Bezeichnet die Variable, bezüglich der Sie integrieren.
• Konstante der Integration $+C$ : Repräsentiert alle möglichen Stammfunktionen.

Historischer Kontext

• Gottfried Wilhelm Leibniz führte das Integralsymbol im späten 17. Jahrhundert ein.
• Es symbolisiert das Summieren von unendlich kleinen Größen, um Flächen, Volumina und andere Ansammlungen zu finden.

Visuelle Darstellung

• Integralsymbol: Ähnelt einem " $S$ " für "Summe."
• Differential $d x$ : Stellt eine infinitesimal kleine Änderung in $x$ dar.

$$\int 3 x^2 d x=3 \int x^2 d x=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+C=x^3+C$$

• Hier ist $F(x)=x^3+C$ die allgemeine Stammfunktion von $f(x)$.

Interpretation:

• Integration als Summation: Das Integralzeichen stammt aus dem Konzept, unendlich kleine Größen zu summieren.
• Umkehrbarkeit: Integration kehrt die Differentiation um, sodass die Integration einer Ableitung die ursprüngliche Funktion zurückgibt (plus $C$ ).

Wie findet man die Antiderivierte von gängigen Funktionen?

Lass uns die Antiderivierten einiger gängiger Funktionen, einschließlich trigonometrischer und logarithmischer Funktionen, erkunden.

Antiderivierte von $\sin x$

$$\int \sin x d x=-\cos x+C$$

Erklärung:

• Die Ableitung von $-\cos x$ ist $\sin x$.
• Daher ist die Antiderivierte von $\sin x$ $-\cos x+C$.

Antiderivierte von $\cos x$

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

Erklärung:

• Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$.
• Somit ist die Antiderivierte von $\cos x$ $\sin x+C$.

Antiderivierte von $\tan x$

Um $\int \tan x d x$ zu finden, können wir eine logarithmische Identität verwenden.

Ableitung:

1. Erinnere dich daran, dass $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$.
2. Schreibe das Integral um:

$$\int \tan x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x$$

3. Setze $u=\cos x$, dann ist $d u=-\sin x d x$, also $-d u=\sin x d x$.
4. Ersetze:

$$\int \frac{\sin x}{\cos x} d x=-\int \frac{1}{u} d u=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C$$

Antwort:

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

• Beide Formen sind korrekt aufgrund der logarithmischen Identität $\ln |\sec x|=-\ln |\cos x|$.

Antiderivierte von $\sec x$

$$\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

Ableitung:

1. Multipliziere Zähler und Nenner mit $\sec x+\tan x$ :

$$\int \sec x d x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x$$

2. Setze $u=\sec x+\tan x$, dann ist $d u=\left(\sec x \tan x+\sec ^2 x\right) d x$.
3. Erkenne, dass $\sec x(\sec x+\tan x) d x=d u$.
4. Ersetze und integriere:

$$\int \frac{d u}{u}=\ln |u|+C=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

Antiderivierte von $\frac{1}{x}$

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Erklärung:

• Die Ableitung von $\ln |x|$ ist $\frac{1}{x}$ für $x \neq 0$.
• Der Betrag stellt sicher, dass die Funktion für negatives $x$ definiert ist.

Antiderivative von $\ln x$

Das Finden von $\int \ln x d x$ erfordert die Integration durch Teile. Integration durch Teile Formel:

Was sind einige Beispiele für das Finden von Antiderivaten?

Lass uns mehrere Beispiele durchgehen, um dein Verständnis zu festigen.

Beispiel 1: Antiderivative von $3 x^2$

Problem:

Finde $\int 3 x^2 d x$

Lösung:

1. Identifiziere den Funktionstyp:

• Polynomfunktion.

2. Wende die Potenzregel an:

$$\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

3. Berechne die Antiderivative:

$$\int 3 x^2 d x=3 \int x^2 d x=3\left(\frac{x^3}{3}\right)+C=x^3+C$$

Antwort:

$$\int 3 x^2 d x=x^3+C$$

Beispiel 2: Antiderivative von $e^{2 x}$

Problem:

Finde $\int e^{2 x} d x$.

Lösung:

1. Verwende Substitution:

• Setze $u=2 x$, also $d u=2 d x$, was bedeutet, dass $d x=\frac{d u}{2}$.

2. Setze in das Integral ein:

$$\int e^{2 x} d x=\int e^u \cdot \frac{d u}{2}=\frac{1}{2} \int e^u d u$$

3. Integriere:

$$\frac{1}{2} \int e^u d u=\frac{1}{2} e^u+C$$

4. Rücksubstitution $u=2 x$:

$$\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

Antwort:

$$\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C$$

Beispiel 3: Antiderivative von $\frac{1}{x}$

Problem:

Finde $\int \frac{1}{x} d x$.

Lösung:

• Wende direkt die Formel an:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Antwort:

$$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$$

Beispiel 4: Antiderivative von $\sec ^2 x$

Problem:

Finde $\int \sec ^2 x d x$.

Lösung:

• Erinnere dich, dass $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$.
• Daher:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

Antwort:

$$\int \sec ^2 x d x=\tan x+C$$

Wie findet man die Antiderivative?

Schritt-für-Schritt-Ansatz

1. Identifiziere den Funktionstyp:

• Erkenne Muster und Standardformen.

2. Wählen Sie die geeignete Methode:

• Grundlegende Integrationsregeln: Für einfache Funktionen.
• Substitution: Wenn der Integrand eine zusammengesetzte Funktion ist.
• Integration durch Teile: Für Produkte von Funktionen.
• Partielle Brüche: Für rationale Funktionen.

3. Führen Sie die Integration durch:

• Wenden Sie die Regeln oder Methoden sorgfältig an.
• Vereinfachen Sie den Integranden, falls erforderlich.

4. Fügen Sie die Konstante der Integration hinzu:

• Fügen Sie $+C$ in Ihre endgültige Antwort ein.

Tipps für den Erfolg

• Regelmäßig üben: Vertrautheit kommt mit Übung.
• Verstehen, nicht auswendig lernen: Verstehen Sie die Gründe hinter jedem Schritt.
• Nutzen Sie Ressourcen: Werkzeuge wie den Mathos AI Rechner können beim Lernen helfen.
• Überprüfen Sie Ihre Arbeit: Differenzieren Sie Ihr Ergebnis, um zu sehen, ob Sie die ursprüngliche Funktion erhalten.

Fazit

Antiderivate sind ein Grundpfeiler der Analysis, da sie es uns ermöglichen, den Prozess der Differenzierung umzukehren und ursprüngliche Funktionen aus ihren Änderungsraten zu finden. Das Beherrschen von Antiderivaten öffnet Türen zur Lösung komplexer Probleme in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen, Wirtschaft und mehr.

Wichtige Erkenntnisse:

• Verständnis grundlegender Regeln: Vertrautheit mit grundlegenden Antiderivaten-Formeln ist unerlässlich.
• Muster erkennen: Die Identifizierung von Funktionstypen vereinfacht den Integrationsprozess.
• Nutzung von Werkzeugen: Ressourcen wie den Mathos AI Antiderivative Calculator mit Schritten verbessern das Lernen und die Effizienz.
• Kontinuierliche Praxis: Regelmäßiges Lösen von Problemen stärkt das Verständnis und die Behaltensleistung.

Wenn Sie Ihre mathematische Reise fortsetzen, denken Sie daran, dass Antiderivate nicht nur abstrakte Konzepte sind, sondern mächtige Werkzeuge, die reale Phänomene modellieren und lösen.

Häufig gestellte Fragen

1. Wie finden Sie das Antiderivat einer Funktion?

Um die Stammfunktion zu finden:

• Identifizieren Sie den Funktionstyp.
• Wenden Sie die entsprechende Regel oder Formel für die Stammfunktion an.
• Verwenden Sie Integrationstechniken wie Substitution oder partielle Integration, falls erforderlich.
• Fügen Sie die Konstante der Integration $C$ hinzu.

2. Was ist die Stammfunktion von $\ln x$ ?

$$\int \ln x d x=x \ln x-x+C$$

3. Was ist die Stammfunktion von $\cos x$ ?

$$\int \cos x d x=\sin x+C$$

4. Was sind die Regeln für Stammfunktionen?

Die Regeln für Stammfunktionen umfassen:

• Potenzregel: $\int x^n d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (für $n \neq-1$ )

• Exponentialfunktionen: $\int e^x d x=e^x+C$

• Trigonometrische Funktionen: Spezifische Stammfunktionen für $\sin x, \cos x, \tan x$, usw.

• Logarithmische Funktionen: $\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

5. Wie verwenden Sie die Notation des unbestimmten Integrals für Stammfunktionen?

• Die Notation des unbestimmten Integrals $\int f(x) d x$ stellt die Stammfunktion von $f(x)$ bezüglich $x$ dar.
• Sie umfasst die Konstante der Integration $C$, die alle möglichen Stammfunktionen berücksichtigt.

6. Was ist die Stammfunktion von $\tan x$ ?

$$\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$$

7. Wie kann ich den Mathos AI Stammfunktionsrechner mit Schritten verwenden?

• Geben Sie die Funktion ein, die Sie im Rechner integrieren möchten.
• Wählen Sie die Integrationsvariable (normalerweise $x$ ).
• Klicken Sie auf Berechnen, um die Stammfunktion und eine schrittweise Lösung zu erhalten.

8. Warum ist die Konstante der Integration wichtig?

• Die Konstante $C$ repräsentiert alle möglichen vertikalen Verschiebungen der Stammfunktion.
• Sie stellt sicher, dass alle Funktionen, deren Ableitung $f(x)$ ist, einbezogen werden.
• Das Weglassen von $C$ bedeutet, dass eine unendliche Anzahl gültiger Stammfunktionen fehlt.