Kostenloser Online Ableitungsrechner

Eine Ableitung misst, wie sich eine Funktion ändert, wenn sich ihre Eingabe ändert. Wenn $y=f(x)$, wird die Ableitung als $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ oder $\frac{d}{dx}[f(x)]$ geschrieben. Sie stellt konzeptionell die Steigung der Tangente an den Graphen an einem Punkt dar und ist ein Kernbegriff der Analysis.

Die formale Definition ist die Grenzwertdefinition (manchmal auch Differenzenquotient genannt):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Diese Definition erklärt, warum Ableitungsregeln funktionieren und stellt einen Zusammenhang zur momentanen Änderungsrate her (z.B. Geschwindigkeit als Ableitung der Position). Ein Ableitungsrechner nutzt diese Ideen, um schnell Ergebnisse zu liefern, aber das Verständnis der Bedeutung hilft, das Ergebnis zu interpretieren.

Gängige Ableitungsnotation umfasst auch höhere Ableitungen wie die zweite Ableitung $f''(x)$, die beschreibt, wie sich die Steigung selbst ändert (Krümmung). Für mehrdimensionale Funktionen $f(x,y)$ sieht man partielle Ableitungen: $\frac{\partial f}{\partial x}$ und $\frac{\partial f}{\partial y}$, die die Änderung relativ zu einer Variablen messen, während die anderen konstant gehalten werden.

Die meisten Differenzierungsaufgaben werden mit standardmäßigen Ableitungsregeln gelöst, statt jedes Mal die Grenzwertdefinition anzuwenden. Die Potenzregel besagt: Ist $f(x)=x^n$, dann ist $f'(x)=nx^{n-1}$. Das gilt auch für Konstanten und Vielfache, also $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Für Produkte und Quotienten verwendet man die Produktregel und Quotientenregel:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Ein Differenzierungsrechner bestimmt automatisch $u$ und $v$ in Ausdrücken wie $(x^2+1)(x^3-4)$ oder $\frac{x^2+1}{x-3}$ und vereinfacht anschließend das Ergebnis.

Die häufigste Fehlerquelle ist die Kettenregel, die für Verkettungen (eine „innere“ und „äußere“ Funktion) verwendet wird:

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Beispiel: Für $\sin(3x^2)$ behandelt man $h(x)=3x^2$. Dann gilt $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, also $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Ableitungsrechner sehen oft trigonometrische Funktionen mit ihren Standardableitungen: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ und $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Werden trigonometrische Funktionen mit Polynomen oder Exponentialfunktionen kombiniert, treten häufig Ketten- und Produktregel gemeinsam auf.

Für Exponentialfunktionen gilt $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ und nach der Kettenregel $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Für Logarithmen gilt $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ und $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Diese Regeln bilden viele Modelle für Änderungsraten in Naturwissenschaften und Wirtschaft ab.

Die Kombination der Regeln ist der Punkt, an dem Vereinfachung wichtig wird. Beispiel:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Ein guter Ableitungsrechner wendet nicht nur die korrekten Regeln an, sondern liefert auch eine saubere, faktorisierte oder vereinfachte Form, wenn dies hilfreich ist.

Implizite Differenzierung wird verwendet, wenn $y$ nicht als explizite Funktion von $x$ isoliert ist. Statt die Gleichung umzustellen, werden beide Seiten bezüglich $x$ differenziert, wobei $y$ als Funktion $y(x)$ behandelt wird. Wann immer man einen Term mit $y$ ableitet, wird die Kettenregel angewandt und $\frac{dy}{dx}$ mit einbezogen.

Beispiel: Für $x^2+y^2=25$ gilt

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Löse nach der Ableitung auf: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Diese Technik ist gängig bei Kreisen, Ellipsen und Nebenbedingungen in Optimierungsproblemen.

Ein Rechner, der implizite Differenzierung unterstützt, hilft, das häufige Schülerproblem zu vermeiden, den Faktor $\frac{dy}{dx}$ wegzulassen. Er unterstützt auch kompliziertere Zusammenhänge wie $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.