Mathos AI | Calculadora de Series de Taylor - Encuentra Expansiones de Series de Taylor

Introducción

¿Estás adentrándote en el cálculo y te sientes abrumado por las series de Taylor? ¡No estás solo! Las series de Taylor son un concepto fundamental en el análisis matemático, esenciales para aproximar funciones y resolver problemas complejos en física e ingeniería. Esta guía completa tiene como objetivo desmitificar las series de Taylor, desglosando conceptos complejos en explicaciones fáciles de entender, especialmente para principiantes.

En esta guía, exploraremos:

• ¿Qué es una serie de Taylor?
• Fórmula y expansión de la serie de Taylor
• Serie de Maclaurin: un caso especial
• Series de Taylor comunes
• Serie de Taylor de $\sin (x)$
• Serie de Taylor de $\cos (x)$
• Serie de Taylor de $e^x$
• Aplicaciones de las series de Taylor
• Uso de la calculadora de series de Taylor de Mathos AI
• Conclusión
• Preguntas frecuentes

Al final de esta guía, tendrás un sólido entendimiento de las series de Taylor y te sentirás seguro aplicándolas para resolver problemas complejos.

¿Qué es una serie de Taylor?

Una serie de Taylor es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un solo punto. Esencialmente, aproxima una función como una serie polinómica infinita.

Definición:

La serie de Taylor de una función $f(x)$ alrededor de un punto $a$ está dada por:

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f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

• Notación de Suma: El símbolo sigma $\sum$ indica la suma sobre $n$ desde 0 hasta el infinito.
• Explicación de Términos:
• $f^{(n)}(a)$ : La $n$-ésima derivada de $f(x)$ en $x=a$.
• $n!$ : El factorial de $n$.
• $\quad(x-a)^n$ : La dependencia del término en $x$ y $a$.

Pasos para Encontrar una Serie de Taylor

1. Encuentra las Derivadas de $f(x)$ :

Calcula $f(a), f^{\prime}(a), f^{\prime \prime}(a)$, etc. 2. Sustituye en la Fórmula:

Sustituye las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor. 3. Escribe la Expansión de la Serie:

Expresa la función como una suma infinita.

Ejemplo: Serie de Taylor de $f(x)=e^x$ en $x=0$

Paso 1: Calcula las Derivadas en $x=0$

• $f(x)=e^x$

• $f(0)=e^0=1$

• $f^{\prime}(x)=e^x \Longrightarrow f^{\prime}(0)=1$

• $f^{\prime \prime}(x)=e^x \Longrightarrow f^{\prime \prime}(0)=1$

• Continuando de manera similar, todas las derivadas superiores son 1 en $x=0$.

Paso 2: Sustituye en la Fórmula

e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n$$ Respuesta:

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

Serie de Maclaurin: Un Caso Especial

Entendiendo la Serie de Maclaurin

Una serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor donde $a=0$. Se utiliza para aproximar funciones alrededor de $x=0$.

Fórmula de la Serie de Maclaurin:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ ### Relación entre las Series de Taylor y Maclaurin - Serie de Taylor: Centrada en $x=a$. - Serie de Maclaurin: Centrada en $x=0$. # Ejemplo: Serie de Maclaurin de $\sin (x)$ #### Paso 1: Calcular Derivadas en $x=0$ - $f(x)=\sin (x)$ - $f(0)=0$ - $f^{\prime}(x)=\cos (x) \Longrightarrow f^{\prime}(0)=1$ - $f^{\prime \prime}(x)=-\sin (x) \Longrightarrow f^{\prime \prime}(0)=0$ - $f^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos (x) \Longrightarrow f^{\prime \prime \prime}(0)=-1$ - $f^{(4)}(x)=\sin (x) \Longrightarrow f^{(4)}(0)=0$ #### Paso 2: Sustituir en la Fórmula

\sin (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}

$$Respuesta:$$

\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

## Series de Taylor Comunes Entender las expansiones de series de Taylor comunes es crucial, ya que sirven como bloques de construcción para funciones más complejas. ### Serie de Taylor de $\sin (x)$ Fórmula:

\sin (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}

$$Expansión:$$

\sin (x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\cdots

### Serie de Taylor de $\cos (x)$ Fórmula:

\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2 n}}{(2 n)!}

$$Expansión:$$

\cos (x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\cdots

### Serie de Taylor de $e^x$ Fórmula:

e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

$$Expansión:$$

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots

### Serie de Taylor de $\ln (1+x)$ (para $|x|<1$ ) Fórmula:

\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}

$$Expansión:$$

\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

## Aplicaciones de las Series de Taylor ### Aproximación de Funciones Las series de Taylor nos permiten aproximar funciones complejas con polinomios, que son más fáciles de calcular. Ejemplo: Aproximando $\sin (0.1)$ :

\sin (0.1) \approx 0.1-\frac{(0.1)^3}{6}=0.1-\frac{0.001}{6} \approx 0.1-0.0001667=0.0998333

undefined

f(x)=\cos (x)

3. Especificar el Punto de Expansión: Elige el valor de $a$ (por ejemplo, $a=0$ para series de Maclaurin). 4. Elegir el Orden: Decide cuántos términos deseas en la expansión. 5. Hacer Clic en Calcular: La calculadora procesa la entrada. 6. Ver la Solución: - Resultado: Muestra la expansión de la serie de Taylor. - Pasos: Proporciona pasos detallados del cálculo. ### Ejemplo Problema: Encuentra la expansión de la serie de Taylor de $\ln (1+x)$ centrada en $x=0$ hasta el 4to orden usando Mathos AI. Usando Mathos AI: 1. Ingresar la Función:

f(x)=\ln (1+x)

undefined

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

### 4. ¿Cómo se encuentra la serie de Taylor de $\sin (x)$ ? Calcula las derivadas de $\sin (x)$ en $x=0$ y sustitúyelas en la fórmula de la serie de Maclaurin:

\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

### 5. ¿Cuál es la expansión de la serie de Taylor de $\cos (x)$ ?

\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots

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R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

undefined

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots

- $\sin (x):$

\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots

- $\cos (x):$

\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots

- $\ln (1+x)$ :

\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots

$$$$