Mathos AI | Calculadora de razón común

El concepto básico del cálculo de la razón común

¿Qué es el cálculo de la razón común?

La razón común es un concepto fundamental en matemáticas, particularmente dentro del estudio de las secuencias geométricas (o progresiones geométricas). Sirve como el factor constante entre términos consecutivos en la secuencia. Comprender la razón común es crucial para analizar patrones de crecimiento y decrecimiento exponencial.

Una secuencia geométrica es una secuencia de números donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el término anterior por un número fijo distinto de cero. Este número fijo es la razón común.

La razón común (a menudo denotada como 'r') es el valor constante obtenido al dividir cualquier término en la secuencia geométrica por su término precedente. Define la relación multiplicativa que gobierna la secuencia.

Cómo calcular la razón común:

Para calcular la razón común:

1. Elija cualquier término en la secuencia (excepto el primero).
2. Divida ese término por el término que lo precede (el término anterior).

Matemáticamente:

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

Donde:

• r es la razón común
• aₙ es cualquier término en la secuencia
• a_{n-1} es el término inmediatamente anterior a aₙ

Ejemplos:

• Ejemplo 1: La secuencia 3, 6, 12, 24, 48...

• Elija el término 6. El término anterior es 3.

• r = 6 / 3 = 2

• Elija el término 12. El término anterior es 6.

• r = 12 / 6 = 2

La razón común es 2.

• Ejemplo 2: La secuencia 200, 50, 12.5, 3.125...

• Elija el término 50. El término anterior es 200.

• r = 50 / 200 = 0.25 o 1/4

La razón común es 0.25.

• Ejemplo 3: La secuencia -2, 4, -8, 16, -32...

• Elija el término 4. El término anterior es -2.

• r = 4 / -2 = -2

La razón común es -2.

Importancia de comprender las razones comunes

La razón común es importante para:

• Identificar secuencias geométricas: Confirma si una secuencia es geométrica.
• Encontrar términos faltantes: Permite el cálculo de cualquier término dentro de la secuencia.
• Sumar series geométricas: Es crucial para calcular la suma de series geométricas. La fórmula para la suma de los primeros 'n' términos de una serie geométrica es:

$$Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)$$

(donde r ≠ 1)

• Comprender la convergencia y la divergencia: Determina si las series geométricas infinitas convergen o divergen. Si |r| < 1, la serie converge a

$$a₁ / (1 - r)$$

Si |r| ≥ 1, la serie diverge.

• Aplicaciones en el modelado del mundo real:
• Crecimiento de la población: La razón común representa (1 + tasa de crecimiento).
• Desintegración radiactiva: La razón común representa la fracción restante después de cada período de tiempo.
• Fractales: El escalamiento geométrico en fractales se basa en la razón común.

Cómo hacer el cálculo de la razón común

Guía paso a paso

1. Identifique una secuencia geométrica: Asegúrese de que la secuencia sea geométrica, lo que significa que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un factor constante.
2. Seleccione dos términos consecutivos: Elija dos términos adyacentes en la secuencia. Por lo general, es más fácil elegir los dos primeros, pero cualquier par funcionará.
3. Divida: Divida el segundo término (el término posterior) por el primer término (el término anterior).
4. Verifique (Opcional pero recomendado): Para confirmar, repita la división con otro par de términos consecutivos. Si el resultado es el mismo, es probable que haya encontrado la razón común correcta.

Ejemplo:

Considere la secuencia: 5, 15, 45, 135...

1. Términos consecutivos: Escojamos 5 y 15.
2. Divida: 15 / 5 = 3
3. Verifique: Intentemos 45 y 15. 45 / 15 = 3.

Por lo tanto, la razón común es 3.

Errores comunes que debe evitar

• Dividir en el orden incorrecto: Siempre divida un término por el término antes que él, no al revés.
• Asumir aritmética: No confunda secuencias geométricas con secuencias aritméticas. Las secuencias aritméticas implican suma/resta, mientras que las secuencias geométricas implican multiplicación/división.
• Razón no constante: Si la razón entre términos consecutivos no es constante, la secuencia no es una secuencia geométrica y no hay una razón común.
• Términos cero: Las secuencias geométricas idealmente no contienen términos cero (excepto posiblemente como el primer término bajo ciertas definiciones extendidas).
• Confusión con la diferencia común: En las secuencias aritméticas, se agrega una diferencia común, no una razón multiplicada.

Cálculo de la razón común en el mundo real

Aplicaciones en finanzas

Si bien calcular los rendimientos en dólares se trata menos de razones comunes, el concepto es útil para comprender los rendimientos que son porcentajes durante un período regular. Suponga que una inversión crece constantemente un 10% cada año. La razón común que representa este crecimiento es 1.10 (que representa el 110% del valor del año anterior). Si la inversión inicial es de 1000, después de 1 año, el monto es 10001.10=1100. Después de 2 años, el monto es 11001.10 = 1210. Esto forma una secuencia geométrica 1000, 1100, 1210.... con una razón común de 1.10.

Uso en la investigación científica

• Desintegración radiactiva: La desintegración de los isótopos radiactivos sigue una progresión geométrica. La razón común representa la fracción de la sustancia que queda después de cada vida media. Por ejemplo, si la vida media deja la mitad, la razón común es 0.5.
• Crecimiento bacteriano: En condiciones ideales, una población bacteriana puede crecer geométricamente. Si la población se duplica cada hora, la razón común es 2.
• Genética: La transmisión de ciertos rasgos a veces se puede modelar utilizando probabilidades geométricas.

Preguntas frecuentes sobre el cálculo de la razón común

¿Qué es una razón común en una secuencia geométrica?

La razón común es el valor constante por el que multiplica cualquier término en una secuencia geométrica para obtener el siguiente término. Representa el factor multiplicativo que une elementos consecutivos en la secuencia.

¿Cómo se encuentra la razón común?

Para encontrar la razón común, divida cualquier término en la secuencia geométrica por el término que lo precede directamente. Esto se puede expresar como:

$$r = aₙ / a_{n-1}$$

Ejemplo:

La siguiente secuencia es una secuencia geométrica: 2, 6, 18, 54... ¿Cuál es la razón común (r) de esta secuencia?

Respuesta:

Para encontrar la razón común (r) de una secuencia geométrica, divide cualquier término por el término que lo precede inmediatamente. En esta secuencia:

• Puede dividir el segundo término (6) por el primer término (2): 6 / 2 = 3
• O, puede dividir el tercer término (18) por el segundo término (6): 18 / 6 = 3
• O, puede dividir el cuarto término (54) por el tercer término (18): 54 / 18 = 3

Dado que cada división da como resultado el mismo valor, la razón común (r) de esta secuencia geométrica es 3.

¿Puede ser negativa una razón común?

Sí, una razón común puede ser negativa. Una razón común negativa da como resultado una secuencia geométrica alterna, donde los signos de los términos alternan entre positivo y negativo.

Ejemplo: La secuencia 1, -2, 4, -8, 16... tiene una razón común de -2.

¿Cuál es la diferencia entre una razón común y una diferencia común?

• Razón común: Se aplica a secuencias geométricas. Cada término se multiplica por la razón común para obtener el siguiente término.
• Diferencia común: Se aplica a secuencias aritméticas. Se agrega una diferencia constante a cada término para obtener el siguiente término.

Ejemplo:

• Secuencia geométrica (Razón común): 2, 4, 8, 16... (Razón común = 2)
• Secuencia aritmética (Diferencia común): 2, 4, 6, 8... (Diferencia común = 2)

¿Cómo se utiliza la razón común en el crecimiento exponencial?

En el crecimiento exponencial, la razón común es mayor que 1. Representa el factor por el cual una cantidad aumenta durante cada período de tiempo. Cuanto mayor es la razón común, más rápido es el crecimiento exponencial. Si la razón común se expresa como (1 + tasa de crecimiento), la 'tasa de crecimiento' representa el aumento porcentual por período. Por ejemplo, una razón común de 1.05 significa una tasa de crecimiento del 5% por período.