Calculadora de Derivadas Gratis en Línea

Una derivada mide cómo cambia una función cuando su entrada cambia. Si $y=f(x)$, la derivada se escribe como $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ o $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Conceptualmente, representa la pendiente de la línea tangente a la curva en un punto, y es una de las ideas centrales en el cálculo.

La definición formal es la definición por límite (a veces llamada cociente de diferencia):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Esta definición explica por qué funcionan las reglas de derivadas y conecta las derivadas con la tasa instantánea de cambio (por ejemplo, velocidad como derivada de la posición). Una calculadora de derivadas usa estas ideas para obtener resultados rápidamente, pero entender el significado ayuda a interpretar la respuesta.

La notación común de derivadas también incluye derivadas de orden superior como la segunda derivada $f''(x)$, que describe cómo cambia la pendiente misma (concavidad). Para funciones multivariables $f(x,y)$, verás derivadas parciales: $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$, que miden el cambio respecto a una variable manteniendo las otras constantes.

La mayoría de problemas de diferenciación se resuelven usando reglas estándar de diferenciación en lugar de la definición por límite cada vez. La regla de la potencia establece: si $f(x)=x^n$, entonces $f'(x)=nx^{n-1}$. Esto se extiende a constantes y múltiplos constantes, por ejemplo $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Para productos y cocientes, usa la regla del producto y la regla del cociente:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Una calculadora de diferenciación identifica automáticamente $u$ y $v$ en expresiones como $(x^2+1)(x^3-4)$ o $\frac{x^2+1}{x-3}$ y luego simplifica el resultado.

La fuente más común de errores es la regla de la cadena, usada para composiciones (una función “interna” y una “externa”):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Ejemplo: para $\sin(3x^2)$, trata $h(x)=3x^2$. Entonces $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, resultando en $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Las calculadoras de derivadas frecuentemente procesan funciones trigonométricas y sus derivadas estándar: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, y $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Cuando las funciones trig combinan polinomios o exponenciales, las reglas de cadena y producto suelen usarse juntas.

Para funciones exponenciales, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ y, por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Para logaritmos, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ y $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Estas reglas son base para muchos modelos de tasa de cambio en ciencia y economía.

Combinar reglas es donde la simplificación importa. Ejemplo:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Una calculadora robusta no solo aplica las reglas correctas sino que también devuelve una forma limpia, factorizada o simplificada cuando es útil.

La diferenciación implícita se usa cuando $y$ no está aislada como función explícita de $x$. En lugar de despejar la ecuación, deriva ambos lados respecto a $x$ tratando a $y$ como función $y(x)$. Cada vez que derives un término con $y$, aplica la regla de la cadena e incluye $\frac{dy}{dx}$.

Ejemplo: para $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Resuelve para la derivada: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Esta técnica es común en círculos, elipses y restricciones en optimización.

Una calculadora de derivadas que soporta diferenciación implícita te ayuda a evitar eliminar el factor $\frac{dy}{dx}$, un error frecuente en estudiantes. También ayuda con relaciones más complicadas como $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.