無料オンライン積分計算機

積分とは累積量を測るものです。微積分では最も一般的な意味は曲線下の面積（符号付きの正味面積）です。積分計算機は通常、不定積分（反導関数）か定積分（数値）を返します。例えば不定積分 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$ は多数の関数が同じ導関数を持つため関数族を返し、定数$C$は縦方向のずれを表します。

定積分は境界を含み値を返します：$\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$ 幾何学的にはこれは$y=3x^2$と$x$軸の$x=0$から$x=1$までの区間の正味の面積を表します。関数が軸の下方にある場合、その領域は負として計算され、これを符号付き面積と呼びます。

ステップ付き積分計算機を使う際に通常求めるのは、(1)どの積分手法が適用できるか（法則、置換、部分積分など）、(2)表現をどのように簡潔な最終結果に変形するかです。Mathos AIは両方に注力し、理由と方法の理解もサポートします。

不定積分は導関数として$F'(x)=f(x)$を満たす関数$F(x)$を求めます。これが**+C**を含む理由です。例：$\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.$ $C$が無い場合、多くの記号積分では不完全です。

定積分計算機は$\int_a^b f(x)\,dx$を反導関数$F$を用いて境界を適用し評価します：$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ これが微積分の基本定理です。例えば、$\int_{-1}^{2} (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_{-1}^{2} = (4+2)-(1-1)=6.$

場合によっては境界が特殊な状況を作ります。不適切積分では境界が無限大であったり区間内で関数が定義されない場合があります。その場合、積分は極限で定義されます。例えば$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.$ ステップ付き計算機はこの極限過程を明確に示します。

方法を選ぶのが最も難しい積分計算のポイントです。まずパターン認識から始めましょう。$x$のべき乗を見たらべき乗法則を使います：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1).$ $\frac{1}{x}$なら$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.$ 三角・指数の基本は$\int e^x\,dx=e^x+C$や$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$です。

置換積分（別名：置換による積分）は合成関数とほぼその導関数があるとき使います。例：$\int 2x\cos(x^2)\,dx.$ $u=x^2$, $du=2x\,dx$と置くと、$\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C.$ これは「内側の関数＋その導関数」のパターンです。

部分積分は積の積分用で、式は$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$ よくある例は$\int x e^x\,dx.$ $u=x$, $dv=e^x\,dx$を選ぶと、$x e^x-\int e^x\,dx = x e^x-e^x+C = e^x(x-1)+C.$ 有理式$\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx$なら代数変形や部分分数分解を先にすることもあります。