無料オンライン微分計算機

微分とは、関数の入力が変化したときに出力がどのように変化するかを測るものです。$y=f(x)$ のとき、微分は**$f'(x)$、$\frac{dy}{dx}$、または$\frac{d}{dx}[f(x)]$と書きます。概念としては、曲線上のある点における接線の傾き**を表し、微積分の基礎的な考え方のひとつです。

正式には極限の定義（差分商とも呼ばれます）があります：

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

この定義は微分の法則がなぜ成立するかを説明し、微分と瞬間の変化率（たとえば速度は位置の微分）の関係を示します。微分計算機はこれらの考えを用いることで高速に計算しますが、その意味を理解することが答えの解釈に役立ちます。

よく使われる記法には高階微分もあり、2次微分$f''(x)$は傾きの変化（凹凸）を説明します。多変数関数 $f(x,y)$ では偏微分が登場し、$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ は他の変数を一定に保った場合の変化を測ります。

ほとんどの微分問題は毎回極限の定義を使うのではなく、標準的な微分法則を利用して解きます。べき乗の法則は、$f(x)=x^n$のとき、$f'(x)=nx^{n-1}$とされます。定数や定数倍の場合も拡張できて、例えば$\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$です。

積と商にはそれぞれ積の法則と商の法則が適用されます：

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

計算機は $(x^2+1)(x^3-4)$ や $\frac{x^2+1}{x-3}$ のような式で $u$ と $v$ を自動で認識し、結果を簡単化します。

最も誤りが多いのは**連鎖律（合成関数の微分）**で、“内側関数”と“外側関数”の微分を組み合わせます：

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

例：$\sin(3x^2)$の場合、$h(x)=3x^2$とし、$\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$により$2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$と求まります。

微分計算機で頻出するのは三角関数の標準的な微分で、$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$です。三角関数が多項式や指数関数と組み合わさると、連鎖律や積の法則が同時に使われます。

指数関数では、$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$、連鎖律により $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$ となります。対数関数は、$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$、$\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$ が成り立ち、科学や経済の変化率モデルで重要です。

式の組み合わせでは簡略化が特に重要です。例：

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

優れた微分計算機は正しい法則を適用するだけでなく、結果の因数分解や簡略化も自動的に行います。

暗黙微分は $y$ が $x$ の明示的な関数でない場合に使います。式の両辺を $x$ で微分する際、$y$ は関数 $y(x)$ として扱い、$y$ に関係する項は連鎖律を使い $\frac{dy}{dx}$ を含めます。

例：$x^2+y^2=25$ の場合、

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

これを $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ に解きます。これは円や楕円、最適化問題の制約条件でよく使われる手法です。

暗黙微分に対応した計算機は $\frac{dy}{dx}$ を忘れるなどの学生によくあるミスを防ぎ、より複雑な関係式 $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$ の処理も支援します。