免費線上積分計算器

Q: 如何計算積分？

計算積分，可用**積分計算器**找反導函數或運用代換、分部等技巧。定積分則為找到 $F'(x)=f(x)$ 後計算 $F(b)-F(a)$。

Q: 定積分與不定積分有什麼差別？

**積分計算器**輸出不定積分作為含 $+C$ 的反導函數，如 $\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$。定積分含界限並回傳數值，如 $\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$。

Q: 如何進行分部積分？

**積分計算器**透過公式 $\int u\,dv = uv-\int v\,du$ 使用分部積分。例：$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = e^x(x-1)+C$。

Q: 何時應用 u 代換？

含複合函數與其導數時，使用**積分計算器**代換技巧，如 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$。設 $u=x^2$，得 $\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C$。

Q: 什麼是非真積分？

**積分計算器**將非真積分視為極限處理，當界限為無窮大或函數在區間未定義。例：$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$。

Q: 如何求解雙重積分？

**雙重積分計算器**常將 $$\iint_R f(x,y)\,dA$$ 轉為迭代積分，如 $\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$，逐次對一變數積分，保持另一變數常數。

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逐步積分解法說明

我們的積分計算器不只給答案，更解釋方法——展現反導函數，必要時運用u 代換、分部積分或部分分式。定積分則以基本微積分定理評估界限： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$

AI 支援高階積分精確度

基礎工具常無法處理複雜表達式（複合函數、三角恆等式、指數函數、非真積分與雙重積分）。Mathos AI 能符號積分如 $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$ ，也能多變數設定如 $\iint_R (x^2+y^2)\,dA$ ，途中特別檢查代數與化簡正確性。

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數學符號難輸入。透過多模態輸入，你可上傳手寫或教科書題目圖片（例如 $\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$ 或 $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$ ），獲得可讀積分式與清晰步驟解答。

什麼是積分（及你的積分計算器會給出什麼）

積分是測量累積量。在微積分中，最常見意義是曲線下的面積（淨符號面積）。積分計算器通常回傳不定積分（即反導函數）或定積分（數值）。例如，不定積分 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$ 回傳一族函數，因為許多函數導數相同，其中常數項 $C$ 代表垂直位移。

定積分含有界限並產生一數值： $\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$ 幾何上，為 $y=3x^2$ 與 $x$ 軸間從 $x=0$ 到 $x=1$ 的淨面積。若函數位於軸下，該區域計為負值，故稱為帶符號面積。

使用附步驟的積分計算器時，常兩方面問題：(1) 適用哪種積分技巧（法則、代換、分部…），(2) 如何將表達式化簡至整潔結果。Mathos AI 聚焦兩者，幫你理解選法依據，而非僅知道按哪些鍵。

定積分與不定積分：界限、常數與意涵

不定積分求函數 $F(x)$ ，使得 $F'(x)=f(x)$ 。故答案含**+C**。如： $\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.$ 若答案缺少 $C$ ，在符號積分語境下即不完整。

定積分計算器透過找反導函數 $F$ ，並套用界限計算 $\int_a^b f(x)\,dx$ ： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ 這是微積分基本定理。舉例： $\int_{-1}^{2} (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_{-1}^{2} = (4+2)-(1-1)=6.$

有時界限帶來特殊情況。對非真積分，界限可能無窮大或函數在區間內未定義，此時透過極限定義積分，如： $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.$ 一款附解說的步驟積分計算器會清楚展示極限過程。

如何選擇積分方法（法則、代換、分部、部分分式）

選擇方法是“如何計算積分”中最難的部分。從模式辨識開始。若看到 $x$ 的冪次，使用冪法則： $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1).$ 見 $\frac{1}{x}$ ，記得 $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.$ 基礎三角及指數包括 $\int e^x\,dx=e^x+C$ 與 $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$ 。

U 代換（又稱置換積分）用於含複合函數且約有其導數，如 $\int 2x\cos(x^2)\,dx.$ 設 $u=x^2$ ，則 $du=2x\,dx$ ，得到 $\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C.$ 這是典型“內函數加導數”模式。

分部積分針對乘積設計，公式為 $\int u\,dv = uv-\int v\,du.$ 常見例子是 $\int x e^x\,dx.$ 選 $u=x$ ， $dv=e^x\,dx$ ，得 $x e^x-\int e^x\,dx = x e^x-e^x+C = e^x(x-1)+C.$ 對有理函數如 $\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx$ ，可能需先作代數化簡或部分分式分解再積分。

超越單變數：雙重及三重積分（多重積分）

雙重積分計算器評估平面區域上的積分： $\iint_R f(x,y)\,dA.$ 用途包含面積、質量、機率密度等。若區域為長方形，常計算為迭代積分： $\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.$ 如例： $\int_0^1\int_0^2 (x+y)\,dy\,dx.$

三重積分計算器將此擴展至三維： $\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$ 適用體積與空間密度。當區域有對稱性，切換座標系（極坐標、柱面座標或球面座標）可簡化界限與積分式。舉例：圓形區域常用極坐標簡化。

多變數情境下，最難的是設定恰當界限與包含正確的面積/體積元素（如 $dA$ 或 $dV$ ）。附步驟積分計算器特別有用，因它能展示設定過程，不僅是最終數值。

常見問題 (FAQ)

如何計算積分？

計算積分，可用積分計算器找反導函數或運用代換、分部等技巧。定積分則為找到 $F'(x)=f(x)$ 後計算 $F(b)-F(a)$ 。

定積分與不定積分有什麼差別？

積分計算器輸出不定積分作為含 $+C$ 的反導函數，如 $\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$ 。定積分含界限並回傳數值，如 $\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$ 。

如何進行分部積分？

積分計算器透過公式 $\int u\,dv = uv-\int v\,du$ 使用分部積分。例： $\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = e^x(x-1)+C$ 。

何時應用 u 代換？

含複合函數與其導數時，使用積分計算器代換技巧，如 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ 。設 $u=x^2$ ，得 $\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C$ 。

什麼是非真積分？

積分計算器將非真積分視為極限處理，當界限為無窮大或函數在區間未定義。例： $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ 。

如何求解雙重積分？

雙重積分計算器常將 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 轉為迭代積分，如 $\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ ，逐次對一變數積分，保持另一變數常數。