免費線上導數計算器

導數衡量函數輸入改變時，輸出如何變化。若 $y=f(x)$，導數寫作**$f'(x)$、$\frac{dy}{dx}$或$\frac{d}{dx}[f(x)]$。概念上，它代表曲線在某點的切線斜率**，也是微積分核心思想之一。

正式定義是極限定義（有時稱為差分商）：

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

此定義說明為何導數法則成立，並聯繫導數與瞬時變化率（例如速度是位置的導數）。導數計算器基於此快速求解，但理解意義更有助於解讀結果。

常見導數符號還包括高階導數，如描述斜率變化（凹凸性）的二階導數 $f''(x)$。對多變量函數 $f(x,y)$，有偏導數：$\frac{\partial f}{\partial x}$與$\frac{\partial f}{\partial y}$，表示固定其他變數，針對其中一變數的變化率。

大多數微分問題透過標準微分法則解決，而非每次都用極限定義。冪法則表示：若 $f(x)=x^n$，則 $f'(x)=nx^{n-1}$。擴展到常數與常數倍，如 $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$。

乘積與商則用乘積法則與商法則：

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

計算器自動辨認 $(x^2+1)(x^3-4)$ 或 $\frac{x^2+1}{x-3}$ 中的 $u$ 與 $v$，再將結果簡化。

最容易出錯的是用於複合函數的鏈式法則（“內函數”與“外函數”）：

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

範例：$\sin(3x^2)$，設 $h(x)=3x^2$，微分得 $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h' = 6x\cos(3x^2)$。

導數計算器經常遇到三角函數及其導數：$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$、$\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$、$\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$。當三角函數與多項式或指數函數混合時，常須同時用鏈式與乘積法則。

對指數函數，$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$，鏈式法則延伸為 $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$。對對數函數，$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$，且 $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$。這些規則廣泛應用於科學與經濟中的變化率模型。

結合規則時簡化尤為重要。範例：

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x - e^{3x}\sin x = e^{3x}(3\cos x - \sin x)$

優秀的導數計算器不只套用正確規則，也會在適當時回傳潔淨、因式分解或簡化形式。

隱式微分用於 $y$ 未以顯性函數形式表示成 $x$ 的情況。不須先重排方程式，對兩側同時關於 $x$ 微分，將 $y$ 當作 $y(x)$ 函數處理。微分含 $y$ 項時，運用鏈式法則並帶入 $\frac{dy}{dx}$。

範例：$x^2 + y^2 = 25$

$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25]$ $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

解得 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。此技巧常用於圓形、橢圓及優化等約束問題。

支援隱式微分的導數計算器能協助避免遺漏 $\frac{dy}{dx}$，這是學生最常犯的錯誤之一。也便於處理更複雜關係式，如 $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$。