Безкоштовний онлайн калькулятор інтегралів

Q: Як розрахувати інтеграли?

Щоб розрахувати інтеграли, скористайтеся **Калькулятором інтегралів** для пошуку первісної або застосування техніки, як-от заміна чи інтегрування частинами. Для визначених інтегралів обчисліть $F(b)-F(a)$ після знаходження $F'(x)=f(x)$.

Q: У чому різниця між визначеними та невизначеними інтегралами?

**Калькулятор інтегралів** повертає невизначений інтеграл як первісну з $+C$, наприклад $\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$. Визначений інтеграл має межі та повертає число, наприклад $\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$.

Q: Як виконати інтегрування частинами?

**Калькулятор інтегралів** використовує інтегрування частинами за формулою $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Наприклад, $\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = e^x(x-1)+C$.

Q: Коли треба застосовувати заміну u?

Використовуйте **Калькулятор інтегралів** із заміною, коли підінтегральна функція є складною і містить її похідну, наприклад $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. Нехай $u=x^2$, тоді $\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C$.

Q: Що таке невласний інтеграл?

**Калькулятор інтегралів** поводиться з невласним інтегралом як з межею, якщо межа нескінченна або функція не визначена. Приклад: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$.

Q: Як розв’язати подвійний інтеграл?

**Калькулятор подвійних інтегралів** часто перетворює $\iint_R f(x,y)\,dA$ на ітеративний інтеграл, наприклад, $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$. Потім інтегрує одну змінну за одною, утримуючи іншу сталою.

Інтегруйте швидше, вивчайте кроки

Важко з інтегралами? Mathos AI розв’язує їх з безкоштовними покроковими поясненнями ШІ — просто введіть функцію або завантажте зображення, щоб навчитися та перевірити свою роботу.

За підтримки

Представлено в

Чому Варто Обрати Mathos AI?

Розумні Математичні Інструменти для Навчання

Крокові розв’язки інтегралів

Наш калькулятор інтегралів пояснює метод, а не лише відповідь — показуючи первісну функцію, застосовуючи заміну u, інтегрування частинами або розклад на прості дроби за потреби. Для визначених інтегралів ми обчислюємо з урахуванням меж за допомогою основної теореми аналізу: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$

Точність на основі ШІ для складних інтегралів

Базові інструменти часто відмовляють при складніших виразах (вкладені функції, тригонометричні тотожності, експоненти, невласні інтеграли та подвійні інтеграли). Mathos AI справляється з символьним інтегруванням, як-от $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$ , і багатовимірними завданнями, на кшталт $\iint_R (x^2+y^2)\,dA$ , перевіряючи алгебру і спрощення по ходу.

Введіть, вставте або завантажте фото вашого інтеграла

Нотатки математичних формул важко вводити. Завдяки мультимодальному вводу ви можете завантажити зображення рукописних чи книжкових задач (наприклад, $\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$ або $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$ ) та отримати читабельний інтеграл із чітким покроковим розв’язком.

Що таке інтеграл (і що повертає ваш Калькулятор інтегралів)

Інтеграл вимірює накопичення. У математичному аналізі найпоширеніше значення — це площа (алгебраїчно підписана площа) під кривою. Калькулятор інтегралів зазвичай повертає або невизначений інтеграл (тобто первісну функцію), або визначений інтеграл (число). Наприклад, невизначений інтеграл $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$ повертає родину функцій, оскільки багато функцій мають одну й ту ж похідну; константа $C$ означає вертикальний зсув.

Визначений інтеграл має межі та повертає значення: $\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$ Геометрично це алгебраїчно підписана площа між $y=3x^2$ та віссю $x$ від $x=0$ до $x=1$ . Якщо функція опускається нижче осі, цей регіон враховується як від’ємна площа, звідси й термін підписана площа.

Коли ви користуєтесь калькулятором інтегралів з покроковими поясненнями, ви, зазвичай, хочете дізнатись: (1) який метод інтегрування застосувати (правила, заміна, частини тощо), та (2) як спростити вираз до чистого кінцевого результату. Mathos AI допомагає з обома — пояснюючи, чому обраний метод підходить, а не лише які кнопки натискати.

Визначені та невизначені інтеграли: межі, константи та значення

Невизначений інтеграл знаходить функцію $F(x)$ таку, що $F'(x)=f(x)$ . Саме тому результати містять +C. Приклад: $\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.$ Якщо у вашій відповіді немає $C$ , вона є неповною у більшості контекстів символьного інтегрування.

Калькулятор визначених інтегралів обчислює $\int_a^b f(x)\,dx$ , знайшовши первісну $F$ і застосувавши межі: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ Це — основна теорема математичного аналізу. Наприклад, $\int_{-1}^{2} (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_{-1}^{2} = (4+2)-(1-1)=6.$

Іноді межі створюють особливі випадки. З невласними інтегралами одна або обидві межі можуть бути нескінченними або функція не визначена всередині проміжку. Тоді інтеграл визначають через межу, наприклад: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.$ Покроковий калькулятор інтегралів має чітко відображати процес обчислення цієї межі.

Як обрати метод інтегрування (правила, заміна, частини, розклад на прості дроби)

Вибрати метод — найважче у розв’язанні інтегралів. Починайте з розпізнавання шаблонів. Якщо бачите степінь $x$ , використовуйте правило степеня: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1).$ Якщо бачите $\frac{1}{x}$ , пам’ятайте: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.$ Основи тригонометрії та експонент включають $\int e^x\,dx=e^x+C$ та $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$ .

Заміну u (інтегрування заміною) застосовують, коли є складна функція й (майже) її похідна. Приклад: $\int 2x\cos(x^2)\,dx.$ Нехай $u=x^2$ , тоді $du=2x\,dx$ , і маємо: $\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C.$ Це класична схема “внутрішня функція + її похідна”.

Інтегрування частинами — для добутків, базується на формулі $\int u\,dv = uv-\int v\,du.$ Частий приклад: $\int x e^x\,dx.$ Оберіть $u=x$ і $dv=e^x\,dx$ , тоді $x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$ Для раціональних виразів, як-от $\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx$ , спершу може знадобитися алгебраїчне спрощення або розклад на прості дроби.

За межами одновимірних: подвійні та потрійні інтеграли (багатовимірне інтегрування)

Калькулятор подвійних інтегралів обчислює інтеграли по області на площині: $\iint_R f(x,y)\,dA.$ Це використовується для площі, маси, ймовірнісної густини тощо. Якщо область — прямокутник, зазвичай обчислюють як ітеративний інтеграл: $\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.$ Наприклад, $\int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx.$

Калькулятор потрійних інтегралів продовжує це в тривимірному просторі: $\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$ корисно для об’єму і густини в просторі. Багато задач спрощується при переході до полярних, циліндричних або сферичних координат, особливо якщо область має симетрію. Наприклад, для круглого регіону полярні координати полегшують межі та інтегрант.

У багатовимірних задачах найважчими є правильне встановлення меж та включення відповідної елементарної площі чи об’єму (наприклад, $dA$ або $dV$ ). Покроковий калькулятор інтегралів є вкрай корисним, бо показує всю постановку задачі, а не тільки кінцеве число.

Часті Запитання (FAQ)

Як розрахувати інтеграли?

Щоб розрахувати інтеграли, скористайтеся Калькулятором інтегралів для пошуку первісної або застосування техніки, як-от заміна чи інтегрування частинами. Для визначених інтегралів обчисліть $F(b)-F(a)$ після знаходження $F'(x)=f(x)$ .

У чому різниця між визначеними та невизначеними інтегралами?

Калькулятор інтегралів повертає невизначений інтеграл як первісну з $+C$ , наприклад $\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$ . Визначений інтеграл має межі та повертає число, наприклад $\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$ .

Як виконати інтегрування частинами?

Калькулятор інтегралів використовує інтегрування частинами за формулою $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Наприклад, $\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = e^x(x-1)+C$ .

Коли треба застосовувати заміну u?

Використовуйте Калькулятор інтегралів із заміною, коли підінтегральна функція є складною і містить її похідну, наприклад $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Нехай $u=x^2$ , тоді $\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C$ .

Що таке невласний інтеграл?

Калькулятор інтегралів поводиться з невласним інтегралом як з межею, якщо межа нескінченна або функція не визначена. Приклад: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ .

Як розв’язати подвійний інтеграл?

Калькулятор подвійних інтегралів часто перетворює $\iint_R f(x,y)\,dA$ на ітеративний інтеграл, наприклад, $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ . Потім інтегрує одну змінну за одною, утримуючи іншу сталою.