Безкоштовний онлайн калькулятор похідних

Похідна показує, як змінюється функція при зміні її аргументу. Якщо $y=f(x)$, похідна записується як $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ або $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Концептуально це означає нахил дотичної до кривої в точці і є однією з основних ідей інтегрального числення.

Формальне визначення — це предел (похідне) (інколи називається часточковим відношенням):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Це визначення пояснює чому діють правила похідних і пов’язує похідну з миттєвою швидкістю зміни (наприклад, швидкість — похідна від положення). Калькулятор похідних використовує ці ідеї для швидкого обчислення, а розуміння значення допомагає інтерпретувати відповідь.

Поширене позначення включає також похідні вищих порядків, як друга похідна $f''(x)$, яка описує зміну нахилу (випуклість). Для функцій кількох змінних $f(x,y)$ застосовують часткові похідні: $\frac{\partial f}{\partial x}$ і $\frac{\partial f}{\partial y}$, які показують зміну по одній змінній, утримуючи інші сталими.

Більшість задач з диференціювання розв’язують, використовуючи стандартні правила диференціювання замість визначення через предел щоразу. Правило степеня каже: якщо $f(x)=x^n$, тоді $f'(x)=nx^{n-1}$. Це розповсюджується на константи і сталеві множники, тому $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Для добутку і частки використовують правило добутку та правило частки:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Калькулятор диференціювання автоматично розпізнає $u$ та $v$ у виразах типу $(x^2+1)(x^3-4)$ або $\frac{x^2+1}{x-3}$ і потім спрощує результат.

Найпоширеніша помилка — це правило ланцюга, застосовуване для композицій ("внутрішня" й "зовнішня" функції):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Приклад: для $\sin(3x^2)$ вважаємо $h(x)=3x^2$. Тоді $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, отримуємо $2\cdot3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Калькулятори похідних часто зустрічають тригонометричні функції та їх стандартні похідні: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]= -\sin x$, $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Коли тригонометрія поєднується з многочленами або експонентами, правила ланцюга і добутку часто застосовують одночасно.

Для експоненційних функцій маємо $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ і за правилом ланцюга $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Для логарифмів: $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ і $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Ці правила важливі для багатьох моделей швидкостей у науці та економіці.

Об’єднання правил — це саме те, де важлива спрощення. Приклад:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x - e^{3x}\sin x = e^{3x}(3\cos x - \sin x)$

Потужний калькулятор похідних не лише застосовує правильні правила, а й повертає чистий, факторизований чи спрощений результат, коли це корисно.

Неявне диференціювання застосовують, коли $y$ не ізольована як явна функція від $x$. Замість переписувати рівняння, диференціюють обидві сторони щодо $x$, вважаючи $y$ функцією від $x$, $y(x)$. При диференціюванні термів з $y$ застосовуйте правило ланцюга і включайте $\frac{dy}{dx}$.

Приклад: для $x^2 + y^2 = 25$

$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25]$ $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

Вирішуємо для похідної: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. Ця техніка часто використовується для кіл, еліпсів і обмежень в оптимізації.

Калькулятор похідних із підтримкою неявного диференціювання допомагає уникнути пропуску множника $\frac{dy}{dx}$ — одна з популярних помилок студентів. Також допомагає з більш складними співвідношеннями, як $x^2 y + \sin(y) = \ln(x)$.