Ücretsiz Çevrimiçi Türev Hesaplayıcı

Türev, bir fonksiyonun girdisi değiştikçe nasıl değiştiğini ölçer. Eğer $y=f(x)$ ise, türev genellikle $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ veya $\frac{d}{dx}[f(x)]$ şeklinde yazılır. Kavramsal olarak, bu eğrinin bir noktadaki teğet doğrusunun eğimini ifade eder ve kalkülüsün temel kavramlarından biridir.

Resmi tanım limit tanımıdır (bazen fark oranı olarak adlandırılır):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Bu tanım türev kurallarının neden işe yaradığını açıklar ve türevleri anlık değişim oranına bağlar (örneğin, konumun türevi olarak hız). Bir türev hesaplayıcı bu fikirleri kullanarak hızlıca sonuç verir, ancak anlamını kavramak cevabı yorumlamada yardımcı olur.

Yaygın türev gösterimleri ayrıca daha yüksek mertebeli türevleri de içerir; mesela ikinci türev $f''(x)$ eğimin nasıl değiştiğini (konvekslik) açıklar. Çok değişkenli fonksiyonlar $f(x,y)$ için, kısmi türevler görülür: $\frac{\partial f}{\partial x}$ ve $\frac{\partial f}{\partial y}$; bunlar diğer değişkenler sabitken bir değişkenle değişimi ölçer.

Çoğu türev problemi her seferinde limit tanımıyla değil, standart türev kuralları ile çözülür. Üs kuralı şunu söyler: eğer $f(x)=x^n$ ise, $f'(x)=nx^{n-1}$. Bu sabitler ve sabit çarpanlar için de geçerlidir; mesela $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Çarpım ve bölüm için çarpım kuralı ve bölüm kuralı kullanılır:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Bir türev hesaplayıcı, $(x^2+1)(x^3-4)$ veya $\frac{x^2+1}{x-3}$ gibi ifadelerde $u$ ve $v$'yi otomatik tespit eder ve sonucu sadeleştirir.

En yaygın hata kaynağı zincir kuralıdır; bileşimler için kullanılır (bir “iç” ve “dış” fonksiyon):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Örnek: $\sin(3x^2)$ için $h(x)=3x^2$ alınır. Sonra $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$ olup, bu $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$ verir.

Türev hesaplayıcılar sıklıkla trigonometrik fonksiyonlar ve standart türevleri görür: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ ve $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Trig fonksiyonlar, polinomlar veya üstel fonksiyonlarla birleştiğinde zincir ve çarpım kuralları birlikte kullanılır.

Üstel fonksiyonlar için, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ ve zincir kuralıyla, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$ olur. Logaritmalar için, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ ve $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Bu kurallar bilim ve iktisatta birçok değişim oranı modelini destekler.

Kuralları birleştirmek sadeleştirmeyi önemli kılar. Örnek:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x - e^{3x}\sin x = e^{3x}(3\cos x - \sin x)$

İyi bir türev hesaplayıcı, doğru kuralları uygulamakla kalmaz, gerektiğinde sonucu temiz, çarpanlı veya sadeleştirilmiş formda da verir.

Örtük türev alma, $y$ açıkça $x$'in fonksiyonu olarak ayrılmadığında kullanılır. Denklemi yeniden yazmak yerine, her iki tarafı $x$'e göre türevleyin ve $y$'yi $y(x)$ fonksiyonu olarak muamele edin. $y$ içeren terimleri türevlerken zincir kuralını uygulayıp $\frac{dy}{dx}$ terimini ekleyin.

Örnek: $x^2+y^2=25$ için,

$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = \frac{d}{dx}[25]$ $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

Türev çözümü: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. Bu teknik daireler, elipsler ve optimizasyondaki kısıtlamalar için yaygındır.

Örtük türev alma destekli bir hesaplayıcı, öğrencilerin en sık yaptığı hatalardan biri olan $\frac{dy}{dx}$ terimini atlamasını önler. Ayrıca $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$ gibi daha karmaşık ilişkilerde de yardımcı olur.