Бесплатный онлайн калькулятор производных

Производная измеряет, как функция изменяется при изменении её аргумента. Если $y=f(x)$, производную записывают как $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ или $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Это, по сути, наклон касательной к графику в точке и одна из основных идей в математическом анализе.

Формально определение — это предел разностного отношения (иногда называют частным разностным отношением):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Это определение объясняет, почему работают правила производной, и связывает понятия с мгновенной скоростью изменения (например, скорость — производная от положения). Калькулятор использует эти идеи для быстрой работы, но понимание смысла помогает интерпретировать результат.

Распространённые обозначения включают высшие производные, например, вторая производная $f''(x)$, описывающую изменение наклона (выпуклость). Для функций нескольких переменных $f(x,y)$ применяются частные производные: $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$, измеряющие изменения по отдельной переменной при фиксированных других.

Большинство задач по дифференцированию решаются с помощью стандартных правил производных, а не предельного определения каждый раз. Правило степени гласит: если $f(x)=x^n$, тогда $f'(x)=nx^{n-1}$. Это расширяется на константы и их множители, например $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Для произведений и частных используется правило произведения и правило частного:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Калькулятор автоматически распознаёт $u$ и $v$ в выражениях вроде $(x^2+1)(x^3-4)$ или $\frac{x^2+1}{x-3}$ и упрощает результат.

Чаще всего ошибки возникают при применении правила цепочки, используемого для композиций (внешняя и внутренняя функция):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Пример: для $\sin(3x^2)$ рассматриваем $h(x)=3x^2$. Тогда $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$ — это $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Калькуляторы часто работают с тригонометрическими функциями и их стандартными производными: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. При сочетании с многочленами или экспонентами часто применяются вместе правила цепочки и произведения.

Для экспонент: $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, а по цепному правилу $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Для логарифмов: $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$, а $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Эти правила широко применяются в моделях скорости изменения в науке и экономике.

Совмещение правил — вот где важно упрощение. Пример:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Хороший калькулятор не только применяет правильные правила, но и возвращает аккуратно упрощённую или факторизованную форму, если это полезно.

Неявное дифференцирование применяется, если $y$ не выражена явно через $x$. Вместо переписывания уравнения дифференцируют обе части по $x$, считая $y$ функцией $y(x)$. При дифференцировании выражений с $y$ используется правило цепочки и вводится множитель $\frac{dy}{dx}$.

Пример: для $x^2+y^2=25$

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Решаем для производной: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Метод часто используют для окружностей, эллипсов и задач оптимизации с ограничениями.

Калькулятор, поддерживающий неявное дифференцирование, помогает не пропустить $\frac{dy}{dx}$ — частая ошибка студентов. Он также полезен для сложных уравнений типа $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.