Gratis Online Afgeleidecalculator

Een afgeleide meet hoe een functie verandert als de invoer verandert. Als $y=f(x)$ is, wordt de afgeleide geschreven als $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ of $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Conceptueel vertegenwoordigt het de helling van de raaklijn aan de kromme in een punt, en het is een van de kernideeën in de calculus.

De formele definitie is de limiet-definitie (ook wel het verschilquotiënt genoemd):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Deze definitie verklaart waarom afgeleide regels werken en verbindt afgeleiden met de momentane verandering (bijvoorbeeld snelheid als de afgeleide van positie). Een afgeleidecalculator gebruikt deze ideeën voor snelle berekeningen, maar het begrijpen van de betekenis helpt bij interpretatie.

Veel voorkomende notatie voor afgeleiden omvat ook hogere orde afgeleiden zoals de tweede afgeleide $f''(x)$, die beschrijft hoe de helling zelf verandert (concaafheid). Voor functies met meerdere variabelen $f(x,y)$ zie je partiële afgeleiden: $\frac{\partial f}{\partial x}$ en $\frac{\partial f}{\partial y}$, die verandering meten ten opzichte van één variabele terwijl de anderen constant gehouden worden.

De meeste differentieerproblemen worden opgelost met standaard differentieerregels i.p.v. steeds de limietdefinitie te gebruiken. De machtregel stelt: als $f(x)=x^n$, dan is $f'(x)=nx^{n-1}$. Dit geldt ook voor constanten en constante factoren, dus $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Voor producten en quotiënten gebruik je de productregel en quotiëntregel:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Een differentiatiecalculator identificeert automatisch $u$ en $v$ in uitdrukkingen zoals $(x^2+1)(x^3-4)$ of $\frac{x^2+1}{x-3}$ en vereenvoudigt vervolgens het resultaat.

De meest voorkomende fout komt door de kettingregel, gebruikt voor samengestelde functies (een “binnen” en “buiten” functie):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Voorbeeld: voor $\sin(3x^2)$ behandel je $h(x)=3x^2$. Dan is $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, wat geeft $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Afgeleidecalculators zien vaak trigonometrische functies en hun standaard afgeleiden: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, en $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Wanneer trigfuncties gecombineerd worden met polynomen of exponenten, komen kettingregel en productregel vaak samen voor.

Voor exponentiële functies, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ en via de kettingregel is $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Voor logaritmen geldt $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ en $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Deze regels vormen de basis van veel veranderingssnelheidsmodellen in wetenschap en economie.

Het combineren van regels is waar vereenvoudiging belangrijk wordt. Voorbeeld:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x - e^{3x}\sin x = e^{3x}(3\cos x - \sin x)$

Een goede afgeleidecalculator past niet alleen de juiste regels toe, maar geeft ook een schone, gefactoreerde of vereenvoudigde vorm terug wanneer dat nuttig is.

Impliciete differentiatie wordt gebruikt als $y$ niet geïsoleerd is als expliciete functie van $x$. In plaats van de vergelijking te herschrijven, differentieer je beide kanten met respect tot $x$, terwijl $y$ behandeld wordt als functie $y(x)$. Telkens als je een term met $y$ differentieert, pas je de kettingregel toe en neem je $\frac{dy}{dx}$ mee.

Voorbeeld: voor $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

Los op voor de afgeleide: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. Deze techniek komt vaak voor bij cirkels, ellipsen, en beperkingen in optimalisatie.

Een afgeleidecalculator die impliciete differentiatie ondersteunt helpt je te voorkomen dat je de $\frac{dy}{dx}$ factor vergeet, een veel voorkomende fout bij studenten. Het helpt ook bij ingewikkeldere relaties zoals $x^2y + \sin(y) = \ln(x)$.