Calcolatore di Derivate Online Gratuito

Una derivata misura come una funzione cambia al variare della sua variabile indipendente. Se $y=f(x)$, la derivata si scrive come $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ o $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Concettualmente, rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva in un punto, ed è una delle idee chiave del calcolo.

La definizione formale è la definizione tramite limite (a volte chiamata rapporto incrementale):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Questa definizione spiega perché funzionano le regole della derivazione e collega le derivate al tasso istantaneo di cambiamento (per esempio, la velocità come derivata della posizione). Un calcolatore di derivate usa questi concetti per calcolare rapidamente, ma capire il significato aiuta a interpretare la risposta.

La notazione comune include anche derivate di ordine superiore come la seconda derivata $f''(x)$, che descrive come cambia la pendenza stessa (concavità). Per funzioni multivariabili $f(x,y)$ si trovano le derivate parziali: $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$, che misurano il cambio rispetto a una variabile mantenendo costanti le altre.

La maggior parte dei problemi di derivazione si risolvono usando regole standard di derivazione invece della definizione tramite limite ogni volta. La regola della potenza dice: se $f(x)=x^n$, allora $f'(x)=nx^{n-1}$. Questo si estende a costanti e multipli costanti, così $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Per prodotti e quozienti si usano la regola del prodotto e la regola del quoziente:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Un calcolatore di derivazione identifica automaticamente $u$ e $v$ in espressioni come $(x^2+1)(x^3-4)$ o $\frac{x^2+1}{x-3}$ e poi semplifica il risultato.

La fonte più comune di errori è la regola della catena, usata per composizioni (funzione “interna” e “esterna”):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Esempio: per $\sin(3x^2)$, considera $h(x)=3x^2$. Quindi $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, ottenendo $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

I calcolatori di derivate incontrano spesso funzioni trigonometriche e le loro derivate standard: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, e $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Quando le funzioni trigonometriche si combinano con polinomi o esponenziali, la regola della catena e la regola del prodotto spesso si usano insieme.

Per le funzioni esponenziali, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ e, per la regola della catena, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Per i logaritmi, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ e $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Queste regole sono alla base di molti modelli di tasso di cambiamento in scienze ed economia.

Unire le regole è il punto in cui la semplificazione conta. Esempio:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Un buon calcolatore di derivate non solo applica le regole corrette ma restituisce una forma pulita, fattorizzata o semplificata quando utile.

La differenziazione implicita si usa quando $y$ non è isolata come funzione esplicita di $x$. Invece di riscrivere l’equazione, deriva entrambi i membri rispetto a $x$ trattando $y$ come funzione $y(x)$. Ogni volta che derivi un termine che coinvolge $y$, applica la regola della catena e includi $\frac{dy}{dx}$.

Esempio: per $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Risolvi per la derivata: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Questa tecnica è comune per cerchi, ellissi e vincoli in ottimizzazione.

Un calcolatore di derivate che supporta la differenziazione implicita ti aiuta a evitare di dimenticare il fattore $\frac{dy}{dx}$, uno degli errori più frequenti per gli studenti. Aiuta anche con relazioni più complicate come $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.