آلة حساب التفاضل المجانية على الإنترنت

تقيس المشتقة كيفية تغير الدالة عندما يتغير دخلها. إذا كانت $y=f(x)$، تكتب المشتقة على شكل $f'(x)$، $\frac{dy}{dx}$، أو $\frac{d}{dx}[f(x)]$. تمثل المفهومياً ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة، وهي من الأفكار الأساسية في التفاضل والتكامل.

التعريف الرسمي هو تعريف النهاية (يسمى أحيانًا خارج الفرق):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

يشرح هذا التعريف لماذا تعمل قواعد المشتقة ويربط المشتقات بمعدل التغير اللحظي (مثلاً، السرعة كمشتقة للموقع). تستخدم آلة حساب المشتقات هذه الأفكار للحساب السريع، لكن فهم المعنى يساعد في تفسير النتيجة.

تشمل تدوينات المشتقة الشائعة كذلك المشتقات الأعلى رتبة مثل المشتقة الثانية $f''(x)$، التي تصف كيف يتغير الميل نفسه (التقعر). بالنسبة لدوال متعددة المتغيرات $f(x,y)$، سترى المشتقات الجزئية: $\frac{\partial f}{\partial x}$ و $\frac{\partial f}{\partial y}$، التي تقيس التغير بالنسبة لكل متغير مع تثبيت المتغيرات الأخرى.

تحل أغلب مسائل التفاضل باستخدام قواعد التفاضل القياسية بدلاً من تعريف النهاية في كل مرة. تقول قاعدة القوة: إذا كانت $f(x)=x^n$، فإن $f'(x)=nx^{n-1}$. وتطبق أيضًا على الثوابت والضرب في الثوابت، فمثلاً $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

بالنسبة للضرب والقسمة، تستخدم قاعدة الضرب وقاعدة القسمة:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

تتعرف آلة حساب التفاضل تلقائيًا على $u$ و $v$ في تعبيرات مثل $(x^2+1)(x^3-4)$ أو $\frac{x^2+1}{x-3}$ ثم تبسط النتيجة.

أكثر الأخطاء شيوعًا تأتي من قاعدة السلسلة، المستخدمة للتراكيب (الدالة "الداخلية" و"الخارجية"):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

مثال: للدالة $\sin(3x^2)$، اعتبر $h(x)=3x^2$. إذن $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$، مما يعطينا $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

تتعامل آلة حساب التفاضل كثيرًا مع الدوال المثلثية ومشتقاتها القياسية: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$، $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$، و$\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. عند دمج الدوال المثلثية مع كثيرات الحدود أو الدوال الأسية، تظهر غالبًا قواعد السلسلة والضرب معًا.

بالنسبة لـ الدوال الأسية، $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ وبقاعدة السلسلة، $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. أما اللوغاريتمات، ف$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ و $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. هذه القواعد تحكم العديد من نماذج معدلات التغير في العلوم والاقتصاد.

الجمع بين القواعد هو حيث تصبح التبسيطات مهمة. مثال:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

آلة حساب قوية لا تطبق القواعد الصحيحة فقط بل تعيد أيضًا شكلاً نظيفًا أو مبسطًا أو مجمعًا إذا كان ذلك مفيدًا.

يستخدم التفاضل الضمني عندما لا يكون $y$ معزولًا كدالة صريحة لـ $x$. بدلاً من إعادة كتابة المعادلة، يُفرق الطرفان بالنسبة إلى $x$ مع اعتبار $y$ دالة تعتمد على $x$. عند تفاضل أي حد يحتوي $y$، طبق قاعدة السلسلة وأدرج عامل $\frac{dy}{dx}$.

مثال: للمعادلة $x^2+y^2=25$،

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

حل المشتقة يعطي: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. هذه الطريقة شائعة للدوائر، القطوع الناقص، والقيود في الامثلية.

آلات حساب المشتقات التي تدعم التفاضل الضمني تساعدك على عدم إهمال عامل $\frac{dy}{dx}$، وهو من الأخطاء الشائعة جدًا بين الطلاب. كما أنها مفيدة في العلاقات المعقدة مثل $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.