简单的三角学：含义、公式、恒等式和示例

三角学听起来很复杂，不是吗？即使是它最简单的缩写名称看起来也像是在声明——这是严肃的数学。但等等！一旦你掌握了基础，三角学就没有看起来那么令人生畏。三角学的核心实际上就是关于三角形及其角度和边之间的关系。通过三角学，只要我们有足够的已知信息，就可以计算出三角形的未知部分。想知道从哪个角度可以投出最佳的篮球吗？也许你曾想过测量员是如何确定山的高度的。这一切都是三角学在发挥作用！

更棒的是，我们现在有了先进的工具，比如Mathos AI的三角学计算器，让这些计算变得轻而易举。所以，让我们深入探讨，探索三角学的基础知识，看看这些古老的技术如何与现代世界相连接。

什么是三角学？

"三角函数"这个术语源自两个希腊词：术语的起源；词汇“trigonon”，翻译为“三角形”，以及“metron”，翻译为“测量”。从本质上讲，三角函数是关于测量三角形中的角和边。对于学生和专业人士来说，三角函数是一个强大的工具，将几何与代数联系起来。通过三角函数，你可以找到未知的边和角，即使这些是你所得到的唯一提示。从历史上看，三角函数在古希腊出现，作为理解天体的一种方式。对于希腊人来说，它被用于数学中以确定星星的位置。在印度，数学家们开发了早期的三角比表，为现代三角函数奠定了基础。简而言之，三角函数已经发展了几个世纪，今天它作为数学、科学和工程的基础。

三角函数的起源

三角函数可能感觉像是一个错综复杂的神秘起源和关于谁真正发明了它的争论的网络。那么，让我们用简单的术语来分解它，给那些好奇的人们，曾经想过，谁是真正的三角函数创始人？或者古代文明如埃及人真的知道三角函数吗？

谁发明了三角函数？

"确定三角学的确切发明者是棘手的，因为它的根源可以追溯到不同的地区和时代。然而，最广泛接受的答案是尼西亚的希帕恰斯，他生活在公元前161年至127年之间。希帕恰斯被称为“三角学之父”，他创建了第一本三角函数表，专注于圆的弦。尽管他的实际著作随着时间的推移而遗失，历史学家认为他写了大约十二本充满弦计算的书籍。通过计算给定角度所对应的弦的长度，他为三角函数奠定了早期基础。

但我们不能忘记巴比伦人，他们在希帕恰斯之前就已经在玩弄角度。他们是第一个将圆分为360度的人——这个数字是他们选择的，因为他们的日历大约有360天。这也是我们今天在测量中使用度数的原因。有趣的是，他们在三角学成为数学的一个分支之前，就已经使用类似于量角器的工具来测量星体的位置。

古埃及人知道三角学吗？

令人惊讶的是，三角学的故事并不是从希腊人或巴比伦人开始的。早期的“原始三角学”迹象可以追溯到公元前1850年的古埃及。一卷古老的纸草纸卷描述了他们如何使用数学技术来建造伟大的金字塔。那么，他们是否拥有我们所知的三角函数呢？并不完全是。他们应用基本的数学概念来确保他们的建筑奇迹高耸而笔直，但他们并不一定将三角学视为一门独立的科学。他们的计算更多是关于如何正确建造，而不是为了娱乐而解决数学问题。

三角学在世界范围内传播

虽然希腊人将三角学推向了新的高度，但真正使其蓬勃发展的则是伊斯兰黄金时代。《古兰经》并没有发明三角学，但伊斯兰文明中的学者们对其进行了精炼和扩展。像纳西尔·阿尔·丁·阿尔·图西这样的数学家在13世纪使三角学成为一门独立的学科，与天文学分开。如果有人可以被称为“伊斯兰三角学之父”，那就是他。他以将三角学转变为一个更有结构的领域而闻名，推动了后来塑造现代数学的进步。快进到15世纪，我们看到贾姆希德·阿尔-卡希（Jamshīd al-Kāshī）因其贡献而引起轰动。他是第一个清楚地阐述余弦定律的人，这对于解决三角形问题至关重要。他的工作帮助将三角学从仅仅是圆和角的研究扩展到导航和三角测量等实际应用。

那么，谁发明了三角学？答案是一个跨越几个世纪和文明的集体努力。从埃及人和巴比伦人的早期测量，到希腊人的详细数学理论，再到伊斯兰学者的精细方法，三角学是人类共同好奇心的结果。

关于三角学起源的常见问题

• 谁是真正的三角学创始人？
  • 虽然许多人做出了贡献，但尼西亚的希帕克斯（Hipparchus of Nicaea）通常被认为是三角学之父，因为他开发了第一本三角函数表。
• 古兰经发明了三角学吗？
  • 不，但在伊斯兰黄金时代的学者们在这一领域取得了重大进展，将其转变为一个明确定义的数学分支。
• 谁最早发明了三角学？
  • 它始于像巴比伦人这样的古代文明，但真正将其确立为数学学科的是希腊人，尤其是希帕克斯。
• 谁是伊斯兰中的三角学之父？
  • 纳西尔·阿尔-丁·阿尔-图西（Nasir al-Din al-Tusi）常被认为是将三角学提升为独立学科的人，将其与天文学分开。

你需要知道的三角函数

三角函数是数学隐藏公式的美丽事物。我们使用正弦、余弦和正切函数来了解直角三角形的边和角，而无需实际使用测量工具。

三大函数：正弦、余弦和正切

• 正弦 ($sin$)：一个角的正弦被定义为与该角相对的边与三角形直角边的比率。想象一下：如果你在三角形的一个顶点，那么正弦告诉你另一个顶点距离斜边有多远。
• 余弦 ($cos$)：余弦比较的是紧邻的边（邻边）与斜边的长度。有些人把它想象成隔壁邻居。
• 正切 ($tan$)：正切是关于比较直角三角形的对边与邻边。如果正弦和余弦不够，那么正切就会通过将这两个比率相除使事情变得更加复杂。

除了基本函数，还有三个额外的比率：你还会接触到倒数三角函数，包括：余切 ($cot$)、正割 ($sec$) 和余割 ($csc$)。这些是使用较少但重要的函数，分别是正切、余弦和正弦的倒数。虽然它们可能不是高中生的日常运算，但在高水平的三角学中，它们非常有用。## 三角函数恒等式

现在，让我们来谈谈三角函数恒等式。这些是涉及将一个或多个三角函数以某种方式关联起来的公式，以简化表达式或提供某个方程的解。例如：

• 毕达哥拉斯恒等式：这表明 $sin^2(x)+cos^2(x)=1$。这个恒等式有助于验证或简化三角函数表达式。
• 倒数恒等式：这些包括像 $sin(x)=1/csc(x)$ 的表达式，使我们能够轻松地在三角函数之间切换。
• 角和与差恒等式：这些恒等式帮助计算两个角的和或差的正弦、余弦或正切，例如 $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$。

通过三角函数恒等式，您可以重写和简化三角函数公式，使解决方程变得更容易。

如何使用三角函数计算器进行三角函数计算？

像 Mathos AI 的三角函数计算器可以帮助您找到任何角度的正弦、余弦和正切值，解决缺失边长等问题。只需进行几个简单的输入，您就可以获得关于直角三角形的任何问题的答案，以及详细的、完全解释的解决方案。为了更好地解释这一点，让我们通过一个可能出现在10年级数学测试中的三角函数问题进行演示。

高中三角函数考试必考题

2001年高中数学联赛：给出以下每个角度（以弧度为单位）的确切值：

(a) $\cos \left(\frac{19 \pi}{4}\right)$; (b) $\cot \left(\frac{-5 \pi}{3}\right)$

关键点: 测试找到给定弧度角的三角函数（如余弦和余切）的确切值的能力。

Mathos AI的答案:

三角学大学考试要求的问题

奥扎克学院三角函数测试 2010: 余弦函数的范围是什么？

(a) 所有大于或等于 $0$ 的实数;

(b) 所有大于或等于 $1$ 或小于或等于 $-1$ 的实数;

(c) 所有从 $-1$ 到 $1$ 的实数，包括;

(d) 所有实数;

关键点： 测试对三角函数范围的知识，特别是余弦函数。需要理解余弦值在实数线上的行为和极限。

Mathos AI的答案：

SAT所需的三角问题

在三角形LMN中，LM垂直于MN。如果是这样，$cosN$的值是多少？

关键点： 测试对直角三角形和互补角中切线与余弦之间关系的理解。

Mathos AI的答案：

告别三角函数烦恼，借助AI的小帮助

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