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关于AP预备微积分的所有信息

2025年1月23日星期四

"AP Precalculus 被纳入 2023/24 学年的 AP 课程中 (由 AP Central 宣布)，旨在为更多学生在大学数学和 STEM 领域的成功做好准备。那么，什么是 AP Precalculus？AP Precalculus 如何帮助高中生为大学水平的数学做好准备？谁应该参加 AP Precalculus？课程是如何组织的？学生参加 AP Precalculus 可以获得什么学分？在这本综合指南中，您将找到关于 AP Precalculus 的所有信息。

什么是 AP Precalculus

AP Precalculus 是一门 高级课程，旨在 相当于第一学期的大学预备数学课程，涵盖多项式和有理函数、指数和对数函数以及三角函数等主题。

本课程专注于教授学生 三种基本数学实践： 程序和符号流畅性（约占考试权重的 43%）、沟通和推理（约占考试权重的 35%）以及多重表示（约占考试权重的 22%）。

AP预备微积分3个基本数学实践
Mathos AI: AP预备微积分中3个基本数学实践及其考试权重
  1. 程序性和符号流畅性

这一领域指的是学生准确、高效和灵活地应用数学程序和操作符号的能力。简而言之，它测试你找到正确解决数学问题的最简单和最快的方法的能力。

这里有一个简单的例子：

假设你需要解方程 4(x + 2) = 12。

一个具有强程序性和符号流畅性的学生可能会在2个快速步骤中解决这个问题：

  • 步骤1：认识到括号内的数量 (x + 2) 必须等于 3，因为 4 × 3 = 12。
  • 步骤2：迅速推断出 x 必须等于 1，因为 1 + 2 = 3。

这个例子展示了程序流畅性，因为学生迅速理解了方程的结构，通过思考数字之间的关系聪明地解决了问题，并找到了最简单的解决路径，而没有陷入复杂的数学步骤中。

  1. 沟通和推理

这一领域强调学生解释和分析数学问题的能力。了解如何使用数学证据和推理来支持你的解决方案也是很重要的。

例如，您已经成功解决了 y = 2x + 3 并找到了 x = 2。现在，是时候解释您解决方案背后的推理了。您可以开始说明这个方程表示一个线性函数。详细说明斜率（2）的重要性，这意味着 y 每增加 1 个单位，x 就增加 2 个单位。此外，讨论 y 截距（3），它表示直线与 y 轴相交的点 (0, 3)。

沟通和推理能力展示了您批判性思维、有效解决问题和逻辑解释解决方案的能力。

  1. 多重表示

这一领域强调学生以不同方式（图形、表格、符号等）呈现数学问题的能力，并在它们之间建立联系。

例如，有不同的方法来表示这个方程：y = 2x + 3。

符号表示： 这就是方程本身：y = 2x + 3

图形表示：

在 Mathos AI 上创建的图形
在 Mathos AI 上创建的图形

表格表示：

xy = 2x + 3
-3-3
-2-1
-11
03
15
27
39

口头描述： 这是一条斜率为2的直线，交于y轴的点为3。

为什么选择AP预备微积分？

许多高中生选择AP课程，因为这能更好地为他们的大学生活做准备。以下是参加AP预备微积分的三个主要好处。

  1. 获得大学学分并节省大学学费

大学学分可能相当昂贵，通常每个学分要几百美元。例如，在一所公立大学，州内学生每个学分的平均费用可能在$300到$500之间。AP预备微积分可以相当于一个学期的大学预备微积分，通常为3或4个学分。因此，如果你在AP考试中表现良好，并且你申请的大学接受AP学分，你可以至少节省$1200的学费。

例如，俄勒冈大学为AP预备微积分授予学分。根据你的AP成绩，你可以获得4到8个学分，课程包括Math 127T, Math 111Z, 和 112Z。如果你得分为3或4，你可以获得4个学分，如果得分为5，你可以获得8个学分。

俄勒冈州立大学AP政策
俄勒冈大学的AP政策：分数、学分和等效课程

如果您想知道哪些大学接受 AP 学分，请使用大学理事会的 AP 学分政策搜索 查看您申请的大学的 AP 政策。只需选择 AP 课程，您将看到授予该课程学分的大学列表以及所需的最低 AP 分数。

AP 学分政策搜索
AP 学分政策搜索：授予 AP 预微积分学分的大学/学院示例
  1. 提高大学申请机会

选修 AP 预微积分表明您认真对待建立坚实的数学基础，并愿意接受学术挑战。

与常规的预微积分不同，AP 预微积分更深入地探讨现实世界的应用，例如在物理或经济学中建模现象。如果您申请以 STEM 为重点的项目，如工程或数据科学，在这门课程中的成功表明您能够应对严格的学术要求，这可以使您在不选修 AP 数学的其他申请者中脱颖而出。

  1. 为高级数学课程做准备

AP Precalculus

AP Precalculus 为 AP Calculus AB、AP Calculus BC 和大学级数学提供了优秀的基础，通过向学生介绍更高级数学研究的关键概念。

例如，AP Precalculus 介绍的一个关键概念是极限的概念，这是微积分的基石。

在 AP Precalculus 中，学生学习分析函数行为，当 x 接近特定值时。例如，探索 f(x) = (x² - 1) 当 x 接近 1 的极限。在 AP Calculus 中，理解极限在学生定义微分和积分时变得至关重要。例如，导数被定义为差商的极限。然后，在大学级物理或工程课程中，学生应用这些知识来计算各种系统中的瞬时速度或变化率。

谁应该参加 AP Precalculus？

那么，谁有资格参加 AP Precalculus？任何人都可以参加吗？虽然这是一个为广泛学生群体设计的基础 AP 数学课程，但参加此课程有一些先决条件。AP Precalculus 非常适合：

  • 已完成代数 2 或综合数学 3 的学生
  • 寻求具有挑战性的数学课程的高中三年级和四年级学生
  • 计划 STEM 专业或职业的学生
  • 希望为 AP Calculus 或大学级数学打下坚实基础的人
  • 希望增强数学和批判性思维能力的优秀学生

AP Precalculus 需要敏锐的数学技能和扎实的分析思维。你应该对代数运算、函数分析和问题解决技巧感到自如。该课程要求强大的逻辑推理能力，熟练使用 graphing calculators，以及能够分解复杂的数学概念。

AP Precalculus: 课程概述

AP Precalculus 课程的主要主题分为四个单元：多项式和有理函数（考试的 30-40%），指数和对数函数（考试的 27-40%），三角函数和极坐标函数（考试的 30-35%），以及涉及参数、向量和矩阵的函数（不在 AP 考试中评估）。

AP 预备微积分课程考试主题
Mathos AI: AP 预备微积分课程考试主题
  1. 多项式和有理函数

让我们探索一个易于理解的多项式和有理函数的例子：

多项式函数是一个变量的表达式，其指数为非负整数。想象一个函数 f(x) = x² + 3x - 2

  • x² 是二次项
  • 3x 是线性项
  • -2 是常数项
Mathos AI的图形计算器
使用Mathos AI的图形计算器计算f(x) = x² + 3x - 2

有理函数是两个多项式的分数。一个好的例子是：g(x) = (x + 2) / (x - 1)

这个有理函数由以下部分组成：

  • 分子：x + 2（一个线性多项式）
  • 分母：x - 1（另一个线性多项式）

关于这个有理函数的关键点：

  • 图形在x = 1附近急剧上升/下降（垂直渐近线）
  • 当x变得很大时，图形趋向于y = 1
  • 当x = 1时没有有效的y值（未定义点）
使用Mathos AI的图形计算器
使用Mathos AI的图形计算器计算g(x) = (x + 2) / (x - 1)
  1. 指数和对数函数

指数函数和对数函数之间的一个关键区别是，指数函数快速增长并加速，而对数函数缓慢增长并减速，基本上是彼此的逆运算。

这里有一张图显示了指数和对数函数的例子：

指数和对数函数
显示指数和对数函数的图形

蓝色曲线表示指数增长，绿色曲线表示自然对数。它增长缓慢，并且仅在 x>0 时定义。

  1. 三角函数和极坐标函数

学生将学习如何分析和解决三角函数以及绘制极坐标函数。三角函数如正弦 (sin)、余弦 (cos) 和正切 (tan) 用于建模周期现象，即重复的模式或周期。

考虑函数 y = 2sin(x) + 1。这表示一个正弦波，具有以下特征：

  • 振幅：2（波从其中心线的高度）
  • 周期：2π（一个完整周期的长度）
  • 垂直位移：+1（波向上移动1个单位）
三角函数和极坐标函数
Mathos AI 的图形计算器：三角函数和极坐标函数

极坐标函数提供了一种不同的方式来表示平面中的点和图形。极坐标使用：

  • r: 原点（中心点）到某点的距离
  • θ: 从正 x 轴开始的角度

例如，方程 r = 2cos(θ) 表示一个半径为 1 的圆，中心位于极坐标系中的点 (1, 0)。

  1. 涉及参数、向量和矩阵的函数

在 AP 预备微积分中，涉及参数、向量和矩阵的函数通过引入额外的维度帮助你理解更复杂的关系。

让我们看一个移动船只随时间变化位置的例子。

参数函数

想象一艘船在湖面上移动，其位置随时间变化：

  • 水平位置: x(t) = 3t
  • 垂直位置: y(t) = 2t
  • 这里，t 是表示船只运动的时间参数

向量表示

船只的速度向量可以表示为 v=⟨3,2⟩，表示：

  • 每个时间单位向东 3 个单位
  • 每个时间单位向北 2 个单位

矩阵变换

旋转矩阵可以改变船只的方向：

R=(cos⁡(45°)−sin⁡(45°)sin⁡(45°)cos⁡(45°))R = \begin{pmatrix} \cos(45°) & -\sin(45°) \\ \sin(45°) & \cos(45°) \end{pmatrix}

通过将这个矩阵应用于船只的初始位置，我们可以旋转其轨迹，展示矩阵如何变换几何路径。

这个例子展示了参数如何跟踪时间，向量如何表示运动，以及矩阵如何实现变换，所有这些共同作用以描述复杂的运动。

AP 预备微积分考试

"AP预备微积分考试持续3小时，分为两个部分（选择题和自由回答）。在考试的某些部分，不允许使用计算器。确保在考试前查看AP考试计算器政策和批准的图形计算器。

40道选择题 | 2小时 | 62.5% 考试分数

  • A部分：80分钟内28道题（占你分数的43.75%）。不允许使用计算器。
  • B部分：40分钟内12道题（占你分数的18.75%）。需要图形计算器。

4道自由回答题 | 1小时 | 37.5% 考试分数

  • A部分：30分钟内2道题（占你分数的18.75%）。需要图形计算器。

    • Q1: 函数概念

    • Q2: 建模非周期性情境

  • B部分：30分钟内2道题（占你分数的18.75%）。不允许使用计算器。

    • Q3: 建模周期性情境

    • Q4: 符号操作

AP预备微积分考试问题

以下是一些来自过去AP预备微积分考试的问题（来自大学理事会），仅供你了解考试的样子。

AP预备微积分选择题：

AP预备微积分考试选择题示例1
AP预备微积分考试选择题示例（不允许使用计算器）
AP预备微积分考试选择题示例2
AP预备微积分考试选择题示例（允许使用图形计算器）

AP预备微积分自由回答题：

AP预备微积分考试自由回答题示例1
AP预备微积分考试自由回答题示例（允许使用图形计算器）
AP预备微积分考试自由回答题示例2
AP预备微积分考试自由回答题示例（不允许使用计算器）

AP预备微积分成功的技巧

  • 掌握课程的核心概念

记住基本的函数变换和关键的数学关系。找到自己的薄弱环节并花更多时间在上面也很重要。假设你在记忆方面并不完美，一种强大的长期记忆保持技巧是间隔重复。立即并反复地以逐渐增加的间隔复习新的数学信息。目标是让数学概念在你的脑海中保持新鲜和随时可用。

你还可以使用人工智能学习工具来帮助你完成作业并解释解决数学问题的步骤。例如， Mathos AI 是一个很棒的数学求解器和计算器，你可以在这里找到一个 AI 辅导员， 作业助手，以及超过 40 个计算器 用于不同的数学问题。

Mathos AI 用户界面
Mathos AI 用户界面
  • 考试前的练习

每天至少花30分钟练习你最薄弱的领域。考试前的两周，每天解决5到10个问题，以熟悉不同类型的问题并提高你的整体表现。你可以在 Albert.io 或 AP Central 找到AP预备微积分的练习考试。

考试周，尽量做一份完整的模拟考试。设置计时器，模拟真实考试的环境是个好主意。记住，多项选择题2小时，开放性问题1小时。

  • 熟练使用你的计算器

你的图形计算器是一个强大的工具，但它不是魔法解决方案。练习使用计算器进行图形绘制、解方程和进行复杂计算。记得在计算器中存储中间值，以保持多步问题的最终答案的准确性。

此外，练习在计算器模式和无计算器模式之间切换，以便你确切知道何时以及如何有效使用计算器。

  • 有效回答考试问题

总是先回答你有信心的问题，然后再回到挑战性的问题。明智地规划你的时间。尽量不要在每个多项选择题上花费超过2分钟，每个开放性问题大约花费15分钟。

在AP预备微积分考试中取得成功源于持续的努力、战略性的学习以及对数学概念的深刻、细致的理解。

结论

AP预备微积分不仅仅是解决方程，它还涉及到培养复杂的数学思维方式以及其他重要技能，如批判性思维、沟通和推理。该课程旨在帮助学生为大学水平的数学做好准备，因为它涵盖的主题比普通高中数学更复杂。参加AP预备微积分有许多好处。成功完成该课程的学生有机会获得大学学分或参加高级数学课程。

无论你是瞄准STEM专业，还是希望增强你的分析能力，这门课程都提供了一个全面、严格的数学体验，远远超出了传统课堂学习的范围。

迎接挑战，保持好奇，让AP预备微积分成为你通向数学卓越的门户！

常见问题

AP预备微积分可以为你准备哪些职业？

AP预备微积分为工程、计算机科学、物理和数据科学等STEM领域的职业提供了坚实的基础。

AP预备微积分与其他高中高级数学课程相比如何？

AP预备微积分充当了代数II与高级数学课程（如微积分）之间的桥梁，专注于对函数及其属性的深入探索，而其他高级数学课程可能专注于特定领域，如统计学或离散数学。

AP预备微积分可以替代哪些大学数学课程？

AP预备微积分可以替代入门大学数学课程，如大学代数或预备微积分，具体取决于学校的学分政策。请务必与您的大学确认学分接受情况。

AP预备微积分难吗？

AP预备微积分可能具有挑战性，因为它涵盖了高级数学主题，如函数、三角学和建模，但通过持续的练习是可以应对的。遵循上述提示以在课程和考试中取得优异成绩。

在微积分之前真的需要预备微积分吗？

在微积分之前强烈推荐学习预备微积分，因为它为微积分的成功奠定了坚实的基础，包括函数、三角学和代数。但这并不是必须的。