免费在线积分计算器

Q: 如何计算积分？

计算积分时，使用**积分计算器**找到反导数或采用代换、分部积分等技巧。定积分则在求得 $F'(x)=f(x)$ 后，计算 $F(b)-F(a)$。

Q: 定积分和不定积分有什么区别？

**积分计算器**返回不定积分时附带 $+C$，表示反导数，如 $\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$。定积分则包含上下限，结果为数值，如 $\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$。

Q: 如何进行分部积分？

**积分计算器**用公式 $\int u\,dv = uv-\int v\,du$ 实现分部积分。例子：$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = e^x(x-1)+C$。

Q: 什么时候应使用U代换？

代换法适用于被积函数是复合函数且包含其导数的情况，如 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$。令 $u=x^2$，得 $\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C$。

Q: 什么是广义积分？

**积分计算器**将上限趋向无穷或函数在区间无定义的积分视作极限。例子：$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$。

Q: 如何计算二重积分？

**二重积分计算器**通常将 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 转换为迭代积分 $\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$，逐步对一个变量积分，另一个变量视为常数。

更快积分，学习步骤

积分难题卡住了？Mathos AI通过免费AI逐步解说帮您解决——只需输入函数或上传图片，即可学习并验证您的答案。

投资方

媒体报道

为什么选择 Mathos AI？

为学习设计的智能数学工具

逐步积分解答

我们的积分计算器讲解方法，不仅给出答案——展示反导数，应用代换积分、分部积分或部分分式等技巧。定积分时，使用基本微积分定理结合上下限进行计算： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$

AI驱动，高精度处理复杂积分

普通工具难以处理复杂表达式（嵌套函数、三角恒等式、指数函数、广义积分和重积分）。Mathos AI支持符号积分，如 $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$ ，及多变量积分如 $\iint_R (x^2+y^2)\,dA$ ，并在过程中校验代数及简化。

输入、粘贴或上传积分图片

数学符号难以输入。采用多模态输入，您可以上传手写或教材上的积分图片（如 $\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$ 或 $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$ ），获得可读积分表达和清晰、引导式解答。

积分的定义（以及积分计算器的返回值）

积分表示累积量。在微积分中，最常见的意味着曲线下的面积（带符号面积）。积分计算器通常返回不定积分（即反导数）或定积分（数值）。例如，不定积分 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$ 返回函数族，因为许多函数拥有相同导数；常数 $C$ 表示垂直平移。

定积分包括上下限，结果为数值： $\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$ 从几何角度看，这是 $y=3x^2$ 与 $x$ 轴之间在区间 $x=0$ 到 $x=1$ 的净面积。函数低于轴时，该区域被计为负面积，因此称为带符号面积。

使用带步骤的积分计算器通常问两个问题：(1) 采用哪种积分技巧（规则、代换、分部等）；(2) 如何化简表达式得到最终结果。Mathos AI专注于这两点——帮您理解方法适用性，而非单纯按步骤操作。

定积分与不定积分：上下限、常数与含义

不定积分求出函数 $F(x)$ 满足 $F'(x)=f(x)$ ，因此结果包含**+C**。例： $\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.$ 若结果缺少 $C$ ，在多数符号积分语境下即不完整。

定积分计算器通过寻找反导数 $F$ 并套用上下限求值： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ 这是微积分基本定理。例如， $\int_{-1}^{2} (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_{-1}^{2} = (4+2)-(1-1)=6.$

有时上下限导致特殊情况。广义积分即上限为无穷或函数在区间内无定义时的积分，此时通过极限定义，比如 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.$ 逐步积分计算器应清晰展示此类极限过程。

如何选择积分法（规则、代换、分部、部分分式）

选法是“如何计算积分”中最难步骤。首先识别模式。若见 $x$ 的幂次，使用幂规则： $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1).$ 若见 $\frac{1}{x}$ ，记得 $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.$ 三角和指数函数基础包括 $\int e^x\,dx=e^x+C$ 及 $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$ 。

U-代换法（又称换元积分）适用于复合函数和其导数近似出现情况。例： $\int 2x\cos(x^2)\,dx.$ 令 $u=x^2$ ，则 $du=2x\,dx$ ，得 $\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C.$ 这是典型“内函数 + 导数”模式。

分部积分针对乘积，基于公式 $\int u\,dv = uv-\int v\,du.$ 例： $\int x e^x\,dx.$ 选 $u=x$ ， $dv=e^x\,dx$ ，计算 $x e^x-\int e^x\,dx = x e^x-e^x+C = e^x(x-1)+C.$ 对于有理函数如 $\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx$ ，可能须先代数化简或用部分分式再积分。

多变量积分：二重积分和三重积分

二重积分计算器计算平面区域内的积分： $\iint_R f(x,y)\,dA.$ 用于面积、质量、概率密度等。若区域矩形，常转为迭代积分： $\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.$ 例如： $\int_0^1\int_0^2 (x+y)\,dy\,dx.$

三重积分计算器推广至三维空间： $\iiint_E f(x,y,z)\,dV,$ 用于体积和空间密度。许多问题通过切换坐标系（极坐标、柱坐标、球坐标）简化，尤其是区域有对称性时，如圆形区域下极坐标简化积分上下限与被积函数。

在多变量情境，最大难点是确定正确的积分限和区域元素（如 $dA$ 或 $dV$ ）。逐步积分计算器尤其有用，可展示积分设置过程，而非仅给出最终数值。

常见问题 (FAQ)

如何计算积分？

计算积分时，使用积分计算器找到反导数或采用代换、分部积分等技巧。定积分则在求得 $F'(x)=f(x)$ 后，计算 $F(b)-F(a)$ 。

定积分和不定积分有什么区别？

积分计算器返回不定积分时附带 $+C$ ，表示反导数，如 $\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$ 。定积分则包含上下限，结果为数值，如 $\int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}$ 。

如何进行分部积分？

积分计算器用公式 $\int u\,dv = uv-\int v\,du$ 实现分部积分。例子： $\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = e^x(x-1)+C$ 。

什么时候应使用U代换？

代换法适用于被积函数是复合函数且包含其导数的情况，如 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ 。令 $u=x^2$ ，得 $\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C$ 。

什么是广义积分？

积分计算器将上限趋向无穷或函数在区间无定义的积分视作极限。例子： $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ 。

如何计算二重积分？

二重积分计算器通常将 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 转换为迭代积分 $\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ ，逐步对一个变量积分，另一个变量视为常数。