免费在线导数计算器

导数衡量函数在输入变化时的变化率。如果 $y=f(x)$，导数用符号表示为 $f'(x)$、$\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d}{dx}[f(x)]$。从概念上讲，它代表曲线上某点切线的斜率，是微积分的核心思想之一。

正式定义为极限定义（有时称为差商）：

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

该定义解释了为何导数规则成立，并将导数与瞬时变化率联系起来（例如，速度是位置的导数）。导数计算器利用这些思想快速计算，但理解含义有助于正确解释结果。

常见的导数符号还包括高阶导数，如描述斜率变化的二阶导数 $f''(x)$（凹凸性）。对于多变量函数 $f(x,y)$，会用到偏导数：$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，它们度量在保持其他变量不变时对某个变量的变化率。

多数求导问题不是每次都用极限定义，而是用标准的求导规则解决。幂法则表明：若 $f(x)=x^n$，则 $f'(x)=nx^{n-1}$。这适用于常数和常数倍。例如，$\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$。

乘积和商的求导使用乘积法则和商法则：

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

求导计算器能自动识别如 $(x^2+1)(x^3-4)$ 或 $\frac{x^2+1}{x-3}$ 中的 $u$ 和 $v$，并简化结果。

最常见的错误来源是链式法则，用于复合函数（“内外函数”）：

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

举例：对 $\sin(3x^2)$，令 $h(x)=3x^2$，则 $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h' = 2 \cdot 3x \cos(3x^2) = 6x \cos(3x^2)$。

求导计算器常见的三角函数及其标准导数有：$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$，$\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$，$\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$。当三角函数与多项式或指数函数组合时，常同时使用链式法则和乘积法则。

对于指数函数，$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$，应用链式法则得 $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$。对于对数函数，$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$，且 $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$。这些规则在科学和经济学的变化率模型中广泛应用。

将规则组合使用时，简化尤为重要。示例：

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

优质的导数计算器不仅正确应用规则，还能在有益时返回简洁、因式分解或化简形式。

隐函数求导用于当 $y$ 不是 $x$ 的显式函数时。无需先将方程重写为显式形式，而是对等式两边关于 $x$ 求导时，将 $y$ 视作 $y(x)$ 的函数。对涉及 $y$ 的项不同求导时，应用链式法则，并伴随 $\frac{dy}{dx}$。

示例：对 $x^2+y^2=25$，

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

求解导数得：$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$。此方法常用于圆、椭圆及优化问题中的约束。

支持隐函数求导的计算器能帮助你避免漏写 $\frac{dy}{dx}$，这是学生中最常见的错误之一。它还适用于更复杂的关系，例如 $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$。