Gratis online Derivaträknare

En derivata mäter hur en funktion förändras när dess indata förändras. Om $y=f(x)$ skrivs derivatan som $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, eller $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Konceptuellt representerar den lutningen av tangentlinjen till kurvan vid en punkt och är en av grundidéerna i kalkyl.

Den formella definitionen är gränsvärdesdefinitionen (ibland kallad differenskvot):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Denna definition förklarar varför derivatreglerna fungerar och kopplar derivator till momentan förändringshastighet (t.ex. hastighet som derivata av position). En derivaträknare använder dessa idéer för att snabbt beräkna svar, men att förstå betydelsen hjälper dig att tolka resultatet.

Vanliga noteringsformer för derivator inkluderar även högre ordningens derivator som andra derivatan $f''(x)$, som beskriver hur lutningen förändras (konkavitet). För flervariabla funktioner $f(x,y)$ finns partiella derivator: $\frac{\partial f}{\partial x}$ och $\frac{\partial f}{\partial y}$, som mäter förändring med avseende på en variabel medan andra hålls konstanta.

De flesta differentieringsproblem löses med standardiserade derivatregler istället för gränsvärdesdefinitionen varje gång. Potensregeln säger: om $f(x)=x^n$, då är $f'(x)=nx^{n-1}$. Detta gäller även för konstanter och konstanter multiplicerade, så $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

För produkter och kvoter används produktregeln och kvotregeln:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

En differentieringsräknare identifierar automatiskt $u$ och $v$ i uttryck som $(x^2+1)(x^3-4)$ eller $\frac{x^2+1}{x-3}$ och förenklar sedan svaret.

Den vanligaste källan till misstag är kedjeregeln, som används för sammansatta funktioner (en "inre" och "yttre" funktion):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Exempel: för $\sin(3x^2)$ betrakta $h(x)=3x^2$. Då är $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, vilket ger $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Derivaträknare ser ofta trigonometriska funktioner och deras standardderivator: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, och $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. När trigonometriska funktioner kombineras med polynom eller exponentiella funktioner förekommer kedje- och produktregel ofta tillsammans.

För exponentiella funktioner gäller $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ och med kedjeregeln $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. För logaritmer är $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ och $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Dessa regler driver många modeller för förändringshastighet inom vetenskap och ekonomi.

Att kombinera regler är där förenkling blir viktigt. Exempel:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

En bra derivaträknare tillämpar inte bara korrekta regler utan levererar också en ren, faktoriserad eller förenklad form när det är användbart.

Implicit differentiering används när $y$ inte är isolerad som en explicit funktion av $x$. Istället för att skriva om ekvationen deriverar man båda sidor med avseende på $x$, samtidigt som man betraktar $y$ som en funktion $y(x)$. När man deriverar ett led med $y$ ska kedjeregeln tillämpas och $\frac{dy}{dx}$ inkluderas.

Exempel: för $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Lös för derivatan: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Denna teknik är vanlig för cirklar, ellipser och optimeringsrestriktioner.

En derivaträknare som stödjer implicit differentiering hjälper dig att undvika att missa faktorn $\frac{dy}{dx}$, vilket är ett av de vanligaste misstagen bland studenter. Den hjälper även till med mer komplicerade samband som $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.