Calculadora de Derivadas Online Grátis

Uma derivada mede como uma função muda conforme sua entrada varia. Se $y=f(x)$, a derivada é escrita como $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Conceitualmente, representa a inclinação da reta tangente à curva em um ponto, sendo uma das ideias centrais do cálculo.

A definição formal é a definição por limite (às vezes chamada quociente de diferença):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Essa definição explica por que as regras de derivação funcionam e conecta as derivadas à taxa instantânea de variação (por exemplo, velocidade como derivada da posição). Uma calculadora de derivadas usa essas ideias para calcular rapidamente, mas entender o significado ajuda na interpretação da resposta.

A notação comum para derivadas também inclui derivadas de ordem superior como a segunda derivada $f''(x)$, que descreve como a inclinação muda (concavidade). Para funções multivariáveis $f(x,y)$, você verá derivadas parciais: $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$, que medem a variação em relação a uma variável mantendo as outras constantes.

A maioria dos problemas de diferenciação é resolvida usando regras padrão de diferenciação, em vez da definição por limite sempre. A regra da potência afirma: se $f(x)=x^n$, então $f'(x)=nx^{n-1}$. Isso se estende a constantes e múltiplos constantes, assim $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Para produtos e quocientes, use a regra do produto e a regra do quociente:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Uma calculadora de diferenciação identifica automaticamente $u$ e $v$ em expressões como $(x^2+1)(x^3-4)$ ou $\frac{x^2+1}{x-3}$ e depois simplifica o resultado.

A fonte mais comum de erros é a regra da cadeia, usada para composições (uma função 'interna' e uma 'externa'):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Exemplo: para $\sin(3x^2)$, trate $h(x)=3x^2$. Então $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, que dá $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Calculadoras de derivadas frequentemente recebem funções trigonométricas e suas derivadas padrão: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, e $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Quando funções trigonométricas são combinadas com polinômios ou exponenciais, a regra da cadeia e do produto aparecem frequentemente juntas.

Para funções exponenciais, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ e, pela regra da cadeia, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Para logaritmos, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ e $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Essas regras sustentam muitos modelos de taxa de variação em ciência e economia.

Combinar regras é onde a simplificação importa. Exemplo:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Uma calculadora de derivadas eficiente não só aplica as regras corretas como também retorna uma forma limpa, fatorada ou simplificada quando útil.

Diferenciação implícita é usada quando $y$ não está isolado como função explícita de $x$. Em vez de reescrever a equação, diferencie ambos os lados em relação a $x$ tratando $y$ como uma função $y(x)$. Sempre que derivar um termo envolvendo $y$, aplique a regra da cadeia incluindo $\frac{dy}{dx}$.

Exemplo: para $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Resolva para a derivada: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Essa técnica é comum para círculos, elipses e restrições em otimização.

Uma calculadora de derivadas que suporta diferenciação implícita ajuda a evitar esquecer o fator $\frac{dy}{dx}$, que é um dos erros mais frequentes dos estudantes. Também auxilia em relações mais complexas como $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.