Kalkulator Turunan Online Gratis

Turunan mengukur bagaimana sebuah fungsi berubah saat inputnya berubah. Jika $y=f(x)$, turunan ditulis sebagai $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, atau $\frac{d}{dx}[f(x)]$. Secara konseptual, ini mewakili kemiringan garis singgung pada kurva di suatu titik, dan ini adalah salah satu ide inti dalam kalkulus.

Definisi formalnya adalah definisi limit (kadang disebut kuosien beda):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Definisi ini menjelaskan mengapa aturan turunan bekerja dan menghubungkan turunan dengan laju perubahan sesaat (contohnya kecepatan sebagai turunan posisi). Kalkulator turunan menggunakan ide ini untuk menghitung dengan cepat, tapi memahami maknanya membantu interpretasi hasil.

Notasi turunan umum juga termasuk turunan orde lebih tinggi seperti turunan kedua $f''(x)$, yang menggambarkan bagaimana kemiringan itu sendiri berubah (kelengkungan). Untuk fungsi multivariabel $f(x,y)$, Anda akan menemukan turunan parsial: $\frac{\partial f}{\partial x}$ dan $\frac{\partial f}{\partial y}$, yang mengukur perubahan terhadap satu variabel sambil mempertahankan yang lain konstan.

Sebagian besar masalah diferensiasi diselesaikan menggunakan aturan diferensiasi standar daripada definisi limit setiap kali. Aturan pangkat menyatakan: jika $f(x)=x^n$, maka $f'(x)=nx^{n-1}$. Ini berlaku juga untuk konstanta dan pengali konstanta, jadi $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$.

Untuk hasil kali dan pembagian, gunakan aturan hasil kali dan aturan bagi:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Kalkulator diferensiasi secara otomatis mengidentifikasi $u$ dan $v$ pada ekspresi seperti $(x^2+1)(x^3-4)$ atau $\frac{x^2+1}{x-3}$ lalu menyederhanakan hasilnya.

Sumber kesalahan paling umum adalah aturan rantai, dipakai untuk komposisi (fungsi "dalam" dan "luar"):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Contoh: untuk $\sin(3x^2)$, anggap $h(x)=3x^2$. Lalu $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$, menghasilkan $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$.

Kalkulator turunan sering bertemu fungsi trigonometri dan turunannya yang standar: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, dan $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$. Ketika fungsi trig digabungkan dengan polinomial atau eksponensial, aturan rantai dan hasil kali sering terjadi bersama.

Untuk fungsi eksponensial, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ dan dengan aturan rantai, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$. Untuk logaritma, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ dan $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$. Aturan ini mendukung banyak model laju perubahan dalam ilmu pengetahuan dan ekonomi.

Menggabungkan aturan adalah saat penyederhanaan penting. Contoh:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

Kalkulator turunan yang baik tidak hanya menerapkan aturan dengan tepat tapi juga mengembalikan bentuk bersih, faktorisasi, atau disederhanakan ketika berguna.

Diferensiasi implisit digunakan ketika $y$ tidak terisolasi sebagai fungsi eksplisit dari $x$. Alih-alih menulis ulang persamaan, diferensiasikan kedua sisi terhadap $x$ sambil menganggap $y$ sebagai fungsi $y(x)$. Saat mendiferensiasi istilah yang melibatkan $y$, terapkan aturan rantai dan sertakan $\frac{dy}{dx}$.

Contoh: untuk $x^2+y^2=25$,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Selesaikan untuk turunan: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Teknik ini umum untuk lingkaran, elips, dan batasan dalam optimasi.

Kalkulator turunan yang mendukung diferensiasi implisit membantu menghindari kesalahan umum siswa yaitu lupa memasukkan faktor $\frac{dy}{dx}$. Ini juga membantu pada relasi lebih rumit seperti $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$.