मुफ्त ऑनलाइन इंटीग्रल कैलकुलेटर

इंटीग्रल संचयन को मापता है। कैलकुलस में, इसका सबसे सामान्य अर्थ किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल (शुद्ध चिन्हित क्षेत्र) है। इंटीग्रल कैलकुलेटर आमतौर पर या तो एक अस्पष्ट इंटीग्रल (एक एंटीडेरिवेटिव) या एक परिभाषित इंटीग्रल (एक संख्या) लौटाता है। उदाहरण के लिए, अस्पष्ट इंटीग्रल $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C$ कई फ़ंक्शनों का परिवार लौटाता है क्योंकि कई फ़ंक्शनों का समान डेरिवेटिव होता है; स्थिरांक $C$ उस ऊर्ध्वाधर शिफ्ट को दर्शाता है।

एक परिभाषित इंटीग्रल सीमाएँ शामिल करता है और एक मान प्रदान करता है: $\int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$ ज्यामितीय रूप से, यह $y=3x^2$ और $x$ अक्ष के बीच $x=0$ से $x=1$ तक का शुद्ध क्षेत्रफल है। यदि फ़ंक्शन अक्ष के नीचे जाता है, तो इंटीग्रल उस क्षेत्र को ऋणात्मक मानता है, इसलिए इसे चिन्हित क्षेत्र कहा जाता है।

जब आप चरणों के साथ एक इंटीग्रल कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो आप आमतौर पर दो चीजें पूछ रहे होते हैं: (1) कौन-सी इंटीग्रेशन तकनीक लागू होती है (नियम, उपस्थापन, पार्ट्स, आदि), और (2) अभिव्यक्ति को एक साफ अंतिम परिणाम में कैसे सरल बनाया जाए। Mathos AI दोनों पर ध्यान केंद्रित करता है — यह आपको समझाने में मदद करता है कि कोई विधि क्यों फिट बैठती है, सिर्फ बटन दबाने के लिए नहीं।

एक अस्पष्ट इंटीग्रल ऐसे फ़ंक्शन $F(x)$ के लिए हल करता है जिससे $F'(x)=f(x)$ होता है। इसलिए परिणामों में हमेशा +C शामिल होता है। उदाहरण: $\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.$ यदि आपके उत्तर में $C$ गायब है, तो यह ज्यादातर प्रतीकात्मक इंटीग्रेशन संदर्भों में अपूर्ण है।

एक परिभाषित इंटीग्रल कैलकुलेटर $\int_a^b f(x)\,dx$ का मान खोजने के लिए पहले एंटीडेरिवेटिव $F$ पाता है और फिर सीमाओं को लागू करता है: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ इसे कैलकुलस का मौलिक प्रमेय कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $\int_{-1}^{2} (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_{-1}^{2} = (4+2)-(1-1)=6.$

कभी-कभी सीमाएँ विशेष मामलों को जन्म देती हैं। अपरिपक्व इंटीग्रल्स के मामले में, एक सीमा अनंत हो सकती है या फ़ंक्शन अंतराल के भीतर अपरिभाषित हो सकता है। तब इंटीग्रल को सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जैसे $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.$ एक चरण-दर-चरण इंटीग्रल कैलकुलेटर को उस सीमा प्रक्रिया को स्पष्ट रूप से दिखाना चाहिए।

विधि चुनना “इंटीग्रल कैसे निकालें” का सबसे कठिन भाग है। पैटर्न पहचान से शुरू करें। यदि आप $x$ की शक्ति देखते हैं, तो पावर रूल का उपयोग करें: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1).$ यदि आप $\frac{1}{x}$ देखते हैं, तो याद रखें कि $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.$ त्रिग और घातांकी मूल बातें शामिल हैं $\int e^x\,dx=e^x+C$ और $\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$।

यू-उपस्थापन (जिसे इंटीग्रेशन बाय सब्स्टीट्यूशन भी कहा जाता है) तब काम करता है जब आपके पास संकलित फ़ंक्शन हो और इसका लगभग डेरिवेटिव हो। उदाहरण: $\int 2x\cos(x^2)\,dx.$ मान लीजिए $u=x^2$, तो $du=2x\,dx$, जिससे $\int \cos(u)\,du = \sin(u)+C = \sin(x^2)+C.$ यह एक क्लासिक “अंदर का फ़ंक्शन + डेरिवेटिव” पैटर्न है।

इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स गुणन के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो इस सूत्र पर आधारित है: $\int u\,dv = uv-\int v\,du.$ एक सामान्य उदाहरण है $\int x e^x\,dx.$ मान लीजिए $u=x$ और $dv=e^x\,dx$, जिससे $x e^x-\int e^x\,dx = x e^x-e^x+C = e^x(x-1)+C.$ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के लिए जैसे $\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx$, आपको शायद इंटीग्रेट करने से पहले बीजगणितीय सरलीकरण या पार्शियल फ्रैक्शन्स की आवश्यकता होगी।