फ्री ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर

एक डेरिवेटिव मापता है कि कोई फंक्शन अपने इनपुट के परिवर्तन के साथ कैसे बदलता है। यदि $y=f(x)$ है, तो डेरिवेटिव को $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, या $\frac{d}{dx}[f(x)]$ के रूप में लिखा जाता है। इसे समझने में यह एक टैन्जेंट लाइन के ढाल को दर्शाता है किसी बिंदु पर, और यह कैलकुलस के मुख्य सिद्धांतों में से एक है।

औपचारिक परिभाषा है लिमिट परिभाषा (जिसे कभी-कभी डिफरेंस कोशियंट भी कहते हैं):

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

यह परिभाषा यह बताती है कि डेरिवेटिव नियम क्यों काम करते हैं और डेरिवेटिव को तत्काल परिवर्तन की दर से कैसे जोड़ा जाता है (जैसे गति को स्थिति के डेरिवेटिव के रूप में)। डेरिवेटिव कैलकुलेटर इन मुख्य विचारों का उपयोग तेजी से परिणाम निकालने के लिए करता है, लेकिन अर्थ को समझना उत्तर की व्याख्या में मदद करता है।

साधारण डेरिवेटिव अंकन में उच्च-क्रम के डेरिवेटिव भी शामिल होते हैं, जैसे दूसरा डेरिवेटिव $f''(x)$, जो दर्शाता है कि ढाल कैसे बदल रही है (संघात)। बहुचर फलकों $f(x,y)$ के लिए आप देखेंगे आंशिक डेरिवेटिव: $\frac{\partial f}{\partial x}$ और $\frac{\partial f}{\partial y}$, जो एक चर के सापेक्ष परिवर्तन मापते हैं जबकि अन्य को स्थिर रखते हैं।

अधिकांश डिफरेंशिएशन समस्याएं हर बार लिमिट निर्धारण के बजाय मानक डिफरेंशिएशन नियमों का उपयोग करके हल की जाती हैं। पावर नियम कहता है: यदि $f(x)=x^n$, तो $f'(x)=nx^{n-1}$। यह स्थिरांकों और स्थिर गुणकों तक भी लागू होता है, इसलिए $\frac{d}{dx}[7x^3]=21x^2$।

गुणा और भाग के लिए, प्रोडक्ट नियम और क्वोशिएंट नियम का उपयोग करें:

$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'$ $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

डिफरेंशिएशन कैलकुलेटर अपने आप $u$ और $v$ की पहचान करता है जैसे कि $(x^2+1)(x^3-4)$ या $\frac{x^2+1}{x-3}$ में और परिणाम को सरल बनाता है।

सबसे सामान्य गलती स्रोत है चेन नियम, जिसका उपयोग संकलनों के लिए किया जाता है (एक “भीतरी” और “बाहरी” फंक्शन):

$\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x)$

उदाहरण: $\sin(3x^2)$ के लिए, $h(x)=3x^2$ माना जाता है। तब $\frac{d}{dx}[\sin(h)]=\cos(h)\cdot h'$ होगा, जिससे प्राप्त होता है $2\cdot 3x\cos(3x^2)=6x\cos(3x^2)$।

डेरिवेटिव कैलकुलेटर अक्सर त्रिकोणमितीय फंक्शन्स देखते हैं और उनके मानक डेरिवेटिव: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, और $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$। जब त्रिकोणमितीय फंक्शन्स बहुपद या घातांकों के साथ मिलते हैं, तब चेन नियम और प्रोडक्ट नियम अक्सर एक साथ उपयोग होते हैं।

घातांक फंक्शन्स के लिए, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ और चेन नियम द्वारा, $\frac{d}{dx}[e^{kx}]=ke^{kx}$। लघुगणक के लिए, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$ और $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))]=\frac{g'(x)}{g(x)}$। ये नियम विज्ञान और अर्थशास्त्र में परिवर्तन दर के कई मॉडलों को संचालित करते हैं।

नियमों को मिलाकर सरलीकरण महत्वपूर्ण होता है। उदाहरण:

$\frac{d}{dx}[e^{3x}\cos x]=3e^{3x}\cos x-e^{3x}\sin x=e^{3x}(3\cos x-\sin x)$

एक सक्षम डेरिवेटिव कैलकुलेटर न केवल सही नियम लागू करता है बल्कि जब आवश्यक हो तो स्वच्छ, कारक रूप या सरल रूप भी लौटाता है।

इम्प्लिसिट डिफरेंशिएशन तब उपयोग होती है जब $y$ को $x$ के स्पष्ट फंक्शन के रूप में अलग नहीं किया जाता है। समीकरण को पुनर्लेखन के बजाय, दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष डिफरेंशिएट करें और $y$ को $y(x)$ जैसे फंक्शन के रूप में मानें। जब भी $y$ वाला पद डिफरेंशिएट करें, चेन नियम लागू करें और $\frac{dy}{dx}$ शामिल करें।

उदाहरण: $x^2+y^2=25$ के लिए,

$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[25]$ $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

डेरिवेटिव निकालें: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$। यह तकनीक सामान्य है वृत्तों, दीर्घवृत्तों और अनुकूलन में बाधाओं के लिए।

एक ऐसा डेरिवेटिव कैलकुलेटर जो इम्प्लिसिट डिफरेंशिएशन सहायक है, वह आपको $\frac{dy}{dx}$ कारक गिराने से बचाता है, जो छात्र त्रुटियों में सबसे आम है। यह अधिक जटिल समीकरण जैसे $x^2y+\sin(y)=\ln(x)$ के लिए भी सहायक है।